(問題)
点Oを中心として、半径X1,X2を[0,1]からランダムに選び、それぞれ独立に２つの同心円を描く。
(1) 半径が大きい方の円の面積の期待値を求めよ。
(2) 半径が小さい方の円の面積の期待値を求めよ。
(こたえ)
(1) 確率分布P(x)=P(max(X1,X2)≦x)
=P(X1≦x,X2≦x)
=P(X1≦x)P(X2≦x)
=x^2
よって
E=∫πx^2dP(x)=∫[0から1まで](πx^2)(2x)dx
=1/2π QED
(2) 確率分布Q(x)=P(min(X1,X2)≦x)
=1－P(min(X1,X2)＞x)
=1－P(X1＞x,X2＞x)
=1－P(X1＞x)P(X2＞x)
=1－(1－P(X1≦x))(1－P(X2≦x))
=1－(1－x)^2
よって
E=∫πx^2dQ(x)=∫[0から1まで](πx^2)(2(1－x))dx
=1/6π QED
大きい方の円の面積の期待値は納得いくのですが、小さい方の円の面積の期待値は意外な気がします。