今回は、数学的な空間について話そうかと思いました。
最近よく「2.5次元」と言う言葉を見ます。本来の意味は、「3次元のような2次元の絵」もしくはその逆を意味しますが、もしこれを空間学的に解釈するとハウスドルフ次元が2.5次元空間となり、フラクタル数学と関わる事になります。フラクタルとは日本語で自己相似と言い、文字通り「元の図形を定数倍すると元の図形の一部と相似する図形」です。
ハウスドルフ次元は例えば、3次元空間上の一片がaの立方体の時、体積はa^3になります。一片が2a(元の立方体の一片を2倍に拡大)の時、体積は8*a^3になり、元の立方体の8倍大きくなります。この時、ハウスドルフ次元は log(8)/log(2)=3となり、3次元空間となります。ハウスドルフ次元が2.5次元になる図形の例は log(32)/log(4) や log(243)/log(9) が成り立つ図形になります。この図形の特徴としては、3次元空間より小さいから体積は0で、2次元空間よりは大きいので表面積は無限となります。実際に3次元空間上で再現すると、無限に小さい塵が無限に存在する感じになります。
有名なフラクタルは、メンガーのスポンジ(約2.7268次元空間)やシェルピンスキーのガスケット(約1.5850次元空間)、コッホ曲線(約1.2619次元空間)などがあ ります。