「世界地図のメルカトル図法で0度と東経135度は平行なのに地球儀では極部で交わる」
これは“ユークリッド平面”(メルカトル図法)と非ユークリッド幾何学の“球面幾何学”(地球儀)の違いによるためである。
ユークリッド空間上では1本の直線とその線上にない任意の点が1つあるとする。そのとき、その点を通り、かつ直線に平行な線は1本です。また、ユークリッド空間上にある任意(一列に並ばない)の3点を結んで出来た3角形の内角の和は必ず180度になります。
しかし、球面上では平行な線が1本もないことが特徴です。また、球面上に描かれた任意の3角形の内角の和は必ず180度より大きくなります。しかし、球面に対して十分に小さい3角形の内角の和≒180度となります。
また、別の幾何学で“双曲幾何学”という幾何学があり、一葉双曲面 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 (a,b,c∈Re) の表面で考えます。この曲面上では平行な線が無数にあります(平行の定義は「線と線の間が常に一定」ではなく「線と線を無限に伸ばしても交わることがない」であることに注意)。また、双曲面上に描かれた任意の3角形の内角の和は必ず180度未満になります。しかし、双曲面の曲率に対して十分に小さい3角形の内角の和≒180度となります。
また、すべての方向においてユークリッド平面は平面全体が極値または極値なしで、球面はすべての領域において極値有り、双曲面はすべての領域において極値なしとなります。
これらの幾何学は3次元空間に発展することができ、それぞれの特徴も維持される。また、この宇宙にたいしても空間に曲率を持つかどうかを考えることができる。もし、この宇宙の曲率が0のとき宇宙は“平坦”で曲率が正のときは“球状”、曲率が負のときは“鞍型”と考えられます。