clownのブログ

フラクタルの話１【ハウスドルフ次元】

フラクタルってなんですか？

たぶんタイトルを聞いてピンと来る人は少ないと思います。

このピンとこないフラクタルって何か？を紹介していこうと思います。

さて第一回は【フラクタルの定義】ですね。

大きな定義は二つ。

　・ハウスドルフ次元によって次元を定義している。

　・自己相似性を持つ

なんのことだかよくわかりませんね。

今回は『ハウスドルフ次元』ついて紹介しますね。

さて『ハウスドルフ次元』

次元っていうのは

数直線の本数が次元数を表しています。

また、具体的には

線なら1次元、平面なら2次元、立体なら3次元となっています。

これは

1次元：図形を２倍に拡大→ 長さが２倍。　図形３倍→長さ３倍。

1次元：図形を２倍に拡大→ 面積が４倍。　図形３倍→長さ９倍。

1次元：図形を２倍に拡大→ 長さが８倍。　図形３倍→長さ２７倍。

これを数式として表すと、

と表せます。

これは

N次元：図形をP倍に拡大→　長さ（面積、体積）がQ倍。

という条件から導き出せます。

これをNについて解くと、

となる。

こういう定義の仕方で次元を定義したとき、この次元はハウスドルフ次元といいます。ハウスドルフ次元を定義する前の次元は位相次元といいます。

ハウスドルフ次元は通常の正方形などに適用すると、きちんとN=２という値が出ます。

フラクタルな図形にハウスドルフ次元を適用すると大体の場合は次元数が少数で表されます。（整数な場合もありますが）

このようなよくわからないことをしてフラクタルは出来ていますｗ

さて次回は自己相似性についてです。