ネタが無かったので、
本棚から古ーーい本を引っ張り出して、みんなに忘れ去られた、でも面白い問題を発掘するというシリーズです。
てことで色んな本をチラチラ見ていました。
今回は「続・数理パズル」中村義作 小林茂太郎 西川輝夫 著 (1977年) (中公新書)に面白い問題がありました。
「同色のカードを等間隔に並べる」という問題で、次のようなものです。
まず、トランプを裏向きに横一列に十分な枚数並べます。
1枚ずつ選んでめくっていくと、いずれ赤か黒かの同色のカードが３枚等間隔に並ぶようになります。
「めくる枚数をなるべく少なくするようにして、等間隔に並ぶ３枚の同色のカードを見つけてください。
どのように、最大何枚めくれば見つけられるでしょうか？」
という問題です。
さて、何枚めくれば確実に見つけられるでしょう？
答えを言ってしまうと、３枚並べる場合は５枚めくれば十分です。
どのような手順でめくればよいかわかりますか？
並べる枚数を４枚、５枚と増やしていくと格段に難しくなるのですが、めくる枚数は何枚あればよいでしょう？
この場合はトランプは何組使ってもいいので、何枚でも一列に並べられるとしてください。
３枚の場合を解説しましょう。この場合はカードは13枚あれば十分です。
左から1から13の番号で呼ぶことにしましょう。
次のような手順でめくっていきます。
(1）５、７をめくります。
(1-1)赤赤の場合 と (1-2)赤黒の場合 に分けられます
黒黒と黒赤の場合は本質的に上の場合と同じですので省略します。
(1-1)赤赤の場合
３、６、９をめくります。
(1-1-1)いずれかが1つでも赤ならば、すでにめくった５、７とそのカードが等間隔に３枚並ぶことになります。
(1-1-2)全て黒の場合は３、６、９が等間隔に並ぶことになります。
(1-2)赤黒の場合
９をめくります
(1-2-1)赤の場合 と (1-2-2)黒の場合 に分けられます
(1-2-1)９が赤の場合
１、１３をめくります
(1-2-1-1) どちらかが赤の場合、そのカードと５、９が等間隔の赤3枚になります
(1-2-1-2) 両方とも黒の場合、１、７、１３が等間隔の黒３枚になります。
(1-2-2)９が黒の場合
８，１１をめくります
(1-2-1-1) どちらかが黒の場合、そのカードと７、９が等間隔の黒3枚になります
(1-2-1-2) 両方とも赤の場合、５、８、１１が等間隔の赤３枚になります。
これで全ての場合で目標が達成されました。
めくる枚数は最大５枚ですね。
４枚以下では不可能なことも簡単にわかりますね。
４枚めくって赤と黒が2枚ずつ出た場合は、どうあがいても３枚並ぶことはありません。
ですので５枚が最小です。
この本では４枚並べる場合に、最大14枚めくる方法が載っています。
この枚数が最小化どうかわからないので、13枚以下に挑戦してみてくださいといった内容になっています。
さて、私も少し考えてみました。
13枚で出来そうかなー思ったんですが、やっぱり無理かも？と思い始めて、まだよくわかりません。
考え中です。
もう少し考えて13枚で出来ればまたそのうち書きます。