研究:AI:[ver.2]乗算
#### 概要
本稿は、自然数の存在論的起源をペアノ公理に依存しない立場から再考し、加算は本質的に乗算的構造（選択肢の離散化 → 同型複製 → 複製単位の結合）を基底として成立するという主張を論理的に整えるものである。v1からの主な編集点として、選択行為の等価性と双方向性（e.g., 1 ⇔ 2）を強調し、加算記号の表層的統一性（+1 vs +100）の背後にある乗算的依存を明確化。現代数学の公理を「ラベル付けの二次的産物」として位置づけ、自明さを選択の機能的等価から補強する。これにより、乗算的構造が加算の隠された前提であることを決定的に示す。
従来のペアノ公理系は自然数の形式的性質を記述するには有効であるが、自然数が成立する「意味論的基礎」あるいは「生成構造」を説明するものではない。本稿ではこの限界を踏まえ、自然数を成立させる根源的構造として選択肢の離散化 → 同型複製（コピー） → 複製単位の結合という乗算的（モノイド的）プロセスを提示する。このプロセスは、選択行為の等価性を基底とし、数字の記号（ラベル）は二次的である。
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#### 1. 自然数の起源としての選択肢の離散化
自然数の最初の要素である「1」と「2」が“異なる”ためには、連続空間とは異なる区別可能性が必要である。この区別性は選択肢の離散化と呼ぶことができる。離散化とは、
- 可能な選択肢が互いに代替不可能であり、
- 「他の選択肢として機能しうる」状態が生じることである。
v2では、これを数学化: 離散とは、選択肢の各要素が他の選択肢と置換可能であり、相互依存なく機能・識別される状態である。この離散性は記号的ではなく、機能的・意味論的な区別として位置づけられる。さらに、選択肢の論理的状態はA ⇔ B（双方向等価）で表現され、1→2は一方向的ラベルに過ぎず、2→1も等価に可能。なぜなら、選択行為自体が等価だからである。2つの選択肢から1つを選ぶのも、無数の選択肢から1つを選ぶのも、選択する点で等価であり、全ての数字はこの行為に対して互いに等しい。
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#### 2. 単位の同型性と複製構造
離散化された単位（例えば「1」）が自然数を構成するためには、その単位が同型として複製可能である必要がある。自然数 n は伝統的には「1 を n 回繰り返したもの」と理解されるが、この解釈は以下の構造を前提にしている：
1. 複製されても同一性を維持する単位
2. 単位を並列に配置する操作
3. 配置された単位の結合
これはモノイド的構造（Monoid structure）として形式化でき、加算はそのモノイドの結合律を反映した操作になる。v2の追加: 1→2と100→200の同型性から明らかなように、複製は乗算の原型であり、選択行為の等価がこれを保証する。数字の記号はラベルに過ぎず、選択の等価類として全ての単位は互換可能。
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#### 3. 加算と乗算の存在論的関係
自然数の加算：
n + m = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n+m}
は、意味論的には以下の操作に分解できる：
- (a) 単位の複製（コピー）
- (b) 複製の総数を合成する結合操作
複製（a）を抽象化すると乗算の起源に対応し、結合（b）はモノイドの演算に対応する。すなわち加算は、複製構造（＝乗算の原型）が先に存在して初めて成立する。v2の強調: +1と+100は表層的に同じ記号だが、存在論的に別物。+1は単発生成、+100は事前の同型コピー（乗算的複製）の塊を前提とする。現代数学がこれを統一的に扱うのは、乗算的構造を隠蔽した誤りである。選択行為の等価性から、+nは選択の規模に関わらず等価だが、ラベル付けの二次性により差異が生じる。
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#### 4. 乗算を基底とした自然数体系
この構造を前提とした自然数観では、
- 乗算（複製）
- 加算（複製された単位の結合）
という階層構造が成立する。よって、自然数の加算は乗算的構造に依存する形で成立する。
形式化すると：
- 自然数構造の基底はモノイド（M, ⊗, e）
- 単位要素 e が「1」に対応
- ⊗ による複製・結合が自然数の生成に対応
加算はその上位構造（derived structure）として導出される。v2の追加: 乗算的複製を一度認めた瞬間、どんなxに対してもx+1というラベル付けが永遠に可能になる。これは乗算の仕組みを利用した結果で、加算の原始性を否定する決定的証拠。
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#### 5. ペアノ公理の位置づけ
ペアノ公理は以下の性質を前提にする：
- 基底要素（0 または1）の存在
- “次の数”を与える S 演算子の単射性
- 0 が S の像にないという条件
- 帰納法の原理
これらは自然数体系を形式的に取り扱うための条件としては有効であるが、自然数そのものを生む根源的操作を説明するものではない。本稿の立場からすると、ペアノ公理は自然数の生成構造を抽象化し“影だけを残した”形式体系として位置づけられる。v2の批判: ペアノの+1（S関数）は乗算的複製を前提にしながら、それを原始操作と誤認。公理はラベル付けの産物で、選択行為の等価性を無視した自明でないもの。
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#### 6. 結論
自然数の存在論的基盤は、選択肢の離散化 → 単位の同型複製 → 複製単位の結合という乗算的構造を基底としている。ゆえに、乗算的構造が成立しなければ、加算は成立しない。
ペアノ公理はこの構造を形式的に表現する一つのモデルに過ぎず、自然数の生成的意味論を説明するものではない。v2の最終主張: 乗算的複製を基底に置くことで、現代数学の公理的誤りを暴き、選択行為の等価性が真の自明さを提供する。数字のラベル（1→2など）は二次的で、存在論的基底は選択の機能にある。