一番最初はサインインできなかったけど、その後無事解決しています。
経緯は
Amazonストアで音楽データ購入
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ダウンロードにはアプリが必要とのことで、AmazonMusicとAmazonMP3ダウンローダーの2つのアプリを購入（いずれも無料）
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AmazonMusicアプリにサインインするために奮闘
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初期画面はAmazon.com、つまりアメリカのサイトなのでサインインできず
（日本版のアカウントしか持っていない・日本版とアメリカ版の紐付けも勿論していない為）
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Amazonのコールセンターに問い合わせ
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何も入力せずにサインインをクリックし続け、右下に「JAPAN」の文字が出てきたらそこをクリック
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日本版Amazon.co.jpのサインイン画面に変わるので、ここでアカウントとパスワード入力
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解決
空いていたし時間に余裕はあったので、電話連絡を選択。
Amazonさんは電話番号を入力すると、あちらから電話がきます。
そしてそこで待つこと5分ほど。
（しばらくお待ちくださいのアナウンスあり）
電話を切った後はそのまま作業続行中だったのですが、たまたま空いていた時間帯だったためか、10分以内にお詫びメールが届きました。
内容はご迷惑おかけしましたということと、300円のクーポンを登録したということ、それと対応にまつわるアンケート。
即送信しておきました。
今回の理由としては、環境によってアメリカ版Amazon.comへのアクセスが優先されるためと考えられるとか。
最初はややこしいと思いましたが、問い合わせしてから解決までの素早さは流石だと思いました。