ブラック–ショールズ方程式（ブラック–ショールズ式）
ブラック–ショールズ方程式は、デリバティブの価格付けにおいて発生する偏微分方程式（およびその境界値問題）を指し、特にオプションの価格付けにおいて著名です。様々なデリバティブに適用可能ですが、特にオプションに対しての適用が知られています。ブラック–ショールズ方程式はヨーロピアンオプションのオプション・プレミアムの値を解析的に計算できますが、アメリカンタイプのプット・オプションについては（解析的には）計算できません。ただし、ブラック–ショールズモデルにおけるアメリカンコールオプションの理論価格はヨーロピアンコールオプションの理論価格と一致します。
ブラック–ショールズ方程式は、1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズによりオプションの価格付けに関する研究の一環として発表されました。後にロバート・マートンが彼らの手法に厳密な証明を与えました。これらの理論は現代の金融工学の先駆けとされています。
歴史的背景
*オプション価格の評価に関する研究は長い歴史があります。*ファイナンス研究において先駆的な業績を残したことで知られるルイ・バシュリエは、1900年に発表された博士論文の中でオプションの評価式を考察していました。しかし、彼の評価式は価格が負になることもありうるために非現実的であった。その後、1961年にCase Sprenkleが、1965年にポール・サミュエルソンが株価変動に幾何ブラウン運動を用いたオプション価格式を導出しました。しかしながら、彼らの評価式はオプションの価格評価において、今日で言う所のリスクの市場価格を明示的に表現できなかったため、実用性に乏しいものでした。
1965年にアーサー・D・リトルで職を得たフィッシャー・ブラックは、同社に在籍していたCAPMについての研究で知られるジャック・トレイナーの影響の下、ワラントの評価式についての研究を行っていました。その中で1969年頃に、ブラック–ショールズ方程式の前段階となるようなワラントについての評価式の導出に成功していました。これにはサミュエルソンやロバート・マートンによる多期間においての株式と債券の最適投資比率を決定する問題（マートンのポートフォリオ問題）についての研究に大きく影響されたとブラックは述べています。しかし、ブラックはこの方程式が熱伝導方程式の一種であることには気付かず、解を導出できずにいました。ただ、ブラックはこの方程式について考察を深める中で、株式の期待リターンにワラントの価値は依存しないこと、つまりワラントの価値を決定する上で重要なのは株式全体のリスク（ボラティリティ）であることに気付いていました。
また、時を同じくして1969年ごろにマサチューセッツ工科大学（MIT）に所属していたマイロン・ショールズとブラックは知り合い、ショールズの紹介によりブラックはMITに職場を移しました。そこからブラックとショールズの共同研究が始まり、ワラントの研究から転じたオプションの評価式についての研究は急速に進展しました。
同時期にオプション評価式の研究に取り組んでいたマートンとの議論はブラックとショールズの研究に大きな影響を与えています。両者の関係は共同関係であり、またライバル関係であったとブラックは述べています。そのような中でブラックとショールズは伊藤清らにより創始された確率微分方程式の理論とマートンとの議論によってもたらされた複製ポートフォリオの概念を用いて導出されたブラック–ショールズ方程式の解を見出すことに成功しました。ブラックとショールズは1970年の夏に開催されたカンファレンスで、コーポレートファイナンスにおけるブラック–ショールズ方程式の応用に関する研究成果を発表しましたが、マートンは寝坊してしまい、ブラックとショールズの発表を聞くことができませんでした。
1970年の10月に、ブラックとショールズはブラック–ショールズ方程式をオプションの評価式として利用する研究についてまとめた論文をシカゴ大学が発行している学術雑誌であるJournal of Political Economyに投稿しました。しかし、アメリカファイナンス学会が発行しているThe Journal of Financeに投稿する方が適しているとされ、結局、最初の投稿は拒否されました。その後、彼らの論文はしばらく学術雑誌に発表できずにいましたが、シカゴ大学のマートン・ミラーとユージン・ファーマの目に留まり、彼らのアドバイスを受けて修正された論文が1973年にJournal of Political Economyで投稿を受理され、発表されました。これが広く知られる"The Pricing of Options and Corporate Liabilities"の論文です。
その後、マートンは無裁定価格理論の厳密な理論を展開した論文を発表し、さらにブラックとショールズ自身によってブラック–ショールズ方程式の実用性、データに対する当てはまりの良さが検証されたことで、ブラック–ショールズ方程式は不動の地位を確立しました。
1997年、これらの功績を称えて、ノーベル経済学賞はショールズとマートンに授与されました。残念ながら、ブラックは1995年に亡くなっており、この栄誉にあずかることはできませんでした。今日でも"The Pricing of Options and Corporate Liabilities"はJournal of Political Economyで最も引用される論文の一つとなっています。
Black-Scholes Equation (Black-Scholes Formula)
The Black-Scholes equation refers to the partial differential equation (and its boundary value problems) that arises in the pricing of derivatives, with notable applications, particularly in options. While applicable to various derivatives, it gained prominence for its application to options. The Black-Scholes equation allows for the analytical calculation of the option premium for European options, but it cannot be (analytically) computed for American put options. However, in the Black-Scholes model, the theoretical price of American call options aligns with that of European call options.
The Black-Scholes equation was introduced in 1973 by Fischer Black and Myron Scholes as part of their research on option pricing problems. Robert Merton later provided a rigorous proof of their approach. These theories are considered pioneering in modern financial engineering.
Historical Background
Research on the evaluation of option prices has a long history. Louis Bachelier, known for his groundbreaking contributions to finance research, explored option pricing formulas in his doctoral thesis published in 1900. However, his pricing formula was deemed unrealistic as it allowed for negative prices.
In 1961, Case Sprenkle and, in 1965, Paul Samuelson derived option pricing formulas using geometric Brownian motion for stock price movements. However, these formulas lacked explicit representation of the market price of risk, making them impractical.
Fischer Black, employed at Arthur D. Little in 1965, conducted research on warrant valuation under the influence of Jack Treynor, known for his work on the Capital Asset Pricing Model (CAPM). Around 1969, Black successfully derived a preliminary valuation formula for warrants. Concurrently, Robert Merton's research on the optimal investment ratio for stocks and bonds over multiple periods (Merton's Portfolio Problem) significantly influenced Black's work. Black, however, did not realize that the equation was a type of heat conduction equation and struggled to derive a solution. Nevertheless, he recognized that the value of warrants did not depend on the expected return of stocks but rather on the overall risk (volatility) of stocks.
Around 1969, Myron Scholes, then at MIT, introduced Black to Robert Merton. This introduction led to a collaborative research effort between Black and Scholes, transitioning from warrant studies to the evaluation of option pricing formulas. Simultaneously, Merton's discussions on option pricing with Black significantly influenced their research. Black and Scholes, using the theory of stochastic differential equations initiated by Kiyosi Itô and the concept of a replicating portfolio from discussions with Merton, successfully derived a solution for the Black-Scholes equation. They presented their research on the application of the Black-Scholes equation in corporate finance at a conference in the summer of 1970. However, Merton, oversleeping, missed their presentation.
In October 1970, Black and Scholes submitted a paper summarizing their research on the application of the Black-Scholes equation as an option pricing formula. Initially rejected by the Journal of Political Economy, their paper was later accepted and published after revisions, becoming widely known as "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" in 1973.
Recognizing these achievements, the Nobel Prize in Economic Sciences was awarded to Scholes and Merton in 1997. Unfortunately, Black had passed away in 1995 and could not share in this honor. Today, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" is one of the most cited papers in the Journal of Political Economy.