ゲージ理論

ゲージ理論（ゲージりろん、英: gauge theory）は、場の理論の一種であり、局所変換の下でのラグランジアンの不変性に基づいています。以下に、ゲージ理論に関する詳細な解説を提供します。

概要

1. ゲージとは

   • ゲージとは、「ものさし」や「尺度」を指し、ラグランジアンの冗長な自由度を表します。
   • ゲージ変換は、リー群を形成し、対称群またはゲージ群と呼ばれる理論の対称性を生成します。

2. リー群と生成子

   • ゲージ理論では、リー群とその生成子が重要です。生成子にはリー代数が付随します。
   • 生成子に応じてゲージ場と呼ばれるベクトル場が導入され、これにより局所変換の下でのラグランジアンの不変性（ゲージ不変性）が確保されます。

3. ゲージ場の量子化とゲージボゾン

   • ゲージ場を量子化すると、得られる粒子はゲージボゾンと呼ばれます。これは力を媒介する粒子として振る舞います。
   • 非可換なゲージ群に基づくゲージ理論は、非可換ゲージ理論として知られ、ヤン＝ミルズ理論がその代表例です。

4. 対称性とゲージ理論

   • 物理学の多くの有用な理論は、ある対称性変換群の下で不変なラグランジアンで記述されます。
   • 大域対称性と局所対称性の違いが重要であり、ゲージ理論は局所対称性を要求します。

5. 物理学への応用

   • ゲージ理論は素粒子物理学において成功しており、量子電磁気学や標準模型がその例です。
   • 一般相対論においてもゲージ理論は重要な役割を果たし、ゲージ場がテンソル場として現れます。

6. 歴史的な展開

   • ゲージ対称性の概念は、初めは古典電磁気学や一般相対性理論で考えられていました。
   • 現代的なゲージ対称性の理解は、相対論的量子力学である量子電磁気学において初めて現れました。

7. 応用の範囲

   • ゲージ理論は物理学だけでなく、凝縮系物性論、原子核物理学、高エネルギー物理学など、さまざまな分野で有用です。

ゲージ理論は、物質や力の相互作用を理解するための強力なツールであり、多くの物理学の分野で重要な枠組みを提供しています。

Gauge Theory

Gauge theory is a classification of field theories that deal with systems where the Lagrangian remains invariant under local transformations.

Overview

1. Definition of Gauge

   • The term "gauge" refers to a "measure" or "scale," representing redundant degrees of freedom in the Lagrangian.
   • Gauge transformations form Lie groups, giving rise to the theory's symmetry group known as the gauge group.

2. Lie Groups and Generators

   • Gauge theory emphasizes Lie groups and their generators, with associated Lie algebras.
   • Introducing vector fields known as gauge fields, corresponding to each generator, ensures the invariance of the Lagrangian under local transformations (gauge invariance).

3. Quantization of Gauge Fields and Gauge Bosons

   • Quantizing gauge fields leads to the emergence of particles known as gauge bosons, which mediate forces.
   • Gauge theories based on non-commutative gauge groups are termed non-abelian gauge theories, with Yang-Mills theory being a prominent example.

4. Symmetry and Gauge Theory

   • Many useful theories in physics are described by Lagrangians that remain invariant under certain symmetry transformations.
   • Distinguishing between global and local symmetries, gauge theories specifically demand local symmetry.

5. Applications in Physics

   • Gauge theory has successfully described particle physics, with examples like quantum electrodynamics (U(1) symmetry) and the Standard Model (U(1) × SU(2) × SU(3) symmetry).
   • In general relativity, gauge theory plays a crucial role, with gauge fields being tensor fields.

6. Historical Development

   • Concepts of gauge symmetry initially appeared in classical electromagnetism and later in general relativity.
   • The modern importance of gauge symmetry emerged in relativistic quantum mechanics, particularly in quantum electrodynamics.

7. Scope of Applications

   • Gauge theory extends beyond physics, finding utility in condensed matter physics, nuclear physics, and high-energy physics.

Gauge theory stands as a powerful framework for understanding the interactions of matter and forces, providing a crucial foundation in various branches of physics.