x*3-1の因数分解のことを別荘に行く道すがら車を運転しながら考えていました。高校のころ習ったあれです。
答えは
(x-1)(x*2+x+1)でしたよね。
検算
x*3+x*2+x-x*2-x-1=x*3-1
で合ってました。
ところで表題の答えは因数分解の各因数がゼロと置いて
x=1,x=…,,,
と解けるのですが、もっと直感的に、特に例の
(-b+-√b*2-4ac)/2aを図形的に考えたらどうかということなんです。
要するに複素数表示
e*(iθ)で考えるともっと分かりやすいのでは？
表題の例では3θ=2nπ,n=+-0,1,2,…つまり
θ=0,+-2π/3とすると、
x*3=e*(3iθ)=cos(0,+-2π)+isin(0,+-2π)=1
で正解。
よって
x=cos(0,+-2π/3)+isin(0,+-2π/3)となります。
x*4+1=0の場合なら偏角θを+-π/4,+-3π/4とすれば4つの解が決まります。(4θ=+-(2n+1)π,n=0.1,2…)
x*n+1=0の場合はn=2m,2m+1に場合分けして、同様に。
x*4-1=0ならθ=0,π,+-π/2、つまり+-1と+-i、等
複素平面の円の偏角をイメージするだけで簡単に答えが出ますね。
もちろんどんな方程式にも使える訳ではないので気がつかなかったんですが、高校では方程式と複素平面との関係をあまり詳しく理解してなかったのではないかなと反省も込めて思いました。
これ、数日前に家内と例の
ax*2+bx+c=0の答えの導入をa*2-b*2=(a+b)(a-b)
の形に持っていけば良いんだよねと久しぶりに
公式を導いてみたことに始まります。
