こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ウサギとカメのパラドックスです。

引き続き、
イソップ童話のウサギとカメのお話しです。

足の速いウサギと足の遅いカメが徒競争をしたところ
最後にカメが勝つという物語、
ウサギとカメがかけっこをしたら、
足の速いウサギが勝つことは当然なのですが、
ウサギはわざわざ
レースの途中で「ひと眠り」してしまい、
カメとの距離を縮めます。
さらには寝過ごして、
足の遅いカメにハンディキャップを与えます。
とうとう
ウサギがカメを追いかける形になって、
さあ、
数学の出番！となったのでしたね。

先行したカメと追いかけるウサギとの距離は、
100km。
足の速いウサギが、
1時間ごとに距離を半分に縮めたとき、
ウサギがカメに追いつくのは何時間後になるのか？
が問題でした。

答えは・・・
「ウサギはカメに追いつけない」です。

これはゼノンのパラドックスといわれる問題。
もし、
ウサギとカメの速さが分かっていれば、
　距離の差　÷　速度の差　＝　追いつくまでの時間
となります。

今仮に、
・ウサギ：時速20km
・カ　メ：時速10km

とすると、
　100　÷（20－10）＝　10　
となり、
１０時間後に追いつく計算になります。

ではここで、
本当に追いつくのか証明してみましょう！

ウサギとカメが10時間で移動する距離を求めると、

・ウサギ：時速20km × 10時間＝ 200km
・カ　メ：時速10km × 10時間＝ 100km

カメのスタート地点はウサギの100km先なので、
10時間後にいる位置は100＋100＝200km先となり、
ウサギと一致します。

ゼノンのパラドックスの場合、
経過時間と両者の距離をあげると、

・1時間後：50km

・2時間後：25km

・3時間後：12.5km

と、どんどん近づいていますね。
5時間後なら100km×（2分の1の5乗）で、
3km程度まで追いつくことになります。
この計算をこのまま続けていくと、
24時間後にはわずか6mmのところまで近づくのですが・・・

答えは「ウサギはカメに追いつけない」

それ以降も1時間ごとに半分に近づき、
3mm、
1.5mm、
0.75mm
と間を縮めるのですが、
いつまで経っても距離はゼロにはなりません。

それは・・・
「÷2」を繰り返しているだけなので、
答えは限りなく小さくなっても
ゼロになることはないからです。

逆にゼロになってしまうと
自然数にゼロをかけると答えがゼロになるという
ゼロの定義が根本的に崩れてしまいますね。

パラドックスと呼ぶよりは、
基本的な数学の問題なのでした。

童話も読み方や着目点を変えてみると
新たな発見があって面白いですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ウサギとカメのパラドックス