こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
素数と階乗の関係についてです。

「素数」とは、
１と自分自身以外には約数を持たない数で、
素数でないものは「合成数」というのでしたね。

すべての自然数は、
素数のかけ算で表わすことができること、
そして、
素数は無限に存在するけれど、
大きくなるに従って、
次第にまばらになることがわかっています。

また、
「階乗」とは、
びっくりマーク「！」で表わされる計算で、
ある数までのすべての自然数を掛け合わせるものでした。
　　１！　（1の階乗）

　　２！　（2の階乗）
　　３！　（3の階乗）
・・・と読みます。
式と結果は、
　　１！＝１＝１
　　２！＝１×２＝２
　　３！＝１×２×３＝６
となるのでした。

今回はこの２つの要素を組み合わせてみてみましょう。

10の階乗を使って、
「素数は大きくなるに従って次第にまばらになる」
ことを見てみましょう。

　１０！＝１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０
　　　　＝３６２８８００

はこんな計算式と答えになります。

この数は、
１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０
という約数を持つので素数ではありませんね。

では、
　１０！＋１　
　１０！＋２　
　１０！＋３　
　１０！＋４　
　１０！＋５　
　１０！＋６　
　１０！＋７　
　１０！＋８　
　１０！＋９　
　１０！＋１０
このようにずつ加算したらどうでしょう？　

　１０！＋１　＝　３６２８８０１
　１０！＋２　＝　３６２８８０２

　１０！＋３　＝　３６２８８０３
　１０！＋４　＝　３６２８８０４　

　１０！＋５　＝　３６２８８０５　

　１０！＋６　＝　３６２８８０６　

　１０！＋７　＝　３６２８８０７　

　１０！＋８　＝　３６２８８０８　

　１０！＋９　＝　３６２８８０９　

　１０！＋１０＝　３６２８８１０
このようになりますね。
この式を変形してみると、

　１０！＋１　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+1
　　　　　　　＝1×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋２　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+2
　　　　　　　＝2×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋３　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+3
　　　　　　　＝3×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋４　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+4
　　　　　　　＝4×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋５　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+5
　　　　　　　＝5×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋６　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+6
　　　　　　　＝6×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)　

　１０！＋７　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+7
　　　　　　　＝7×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋８　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+8
　　　　　　　＝8×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋９　＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+9
　　　　　　　＝9×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)

　１０！＋１０＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+10
　　　　　　　＝10×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
となり、
１０！＋２から１０！＋１０までの数は
約数を持っているので

「素数」ではない「合成数」だとわかりますね。

ではこれを
１００！＋２から１００！＋１０まで
とした場合はどうでしょう？

この場合も
１０！＋２から１０！＋１０までと同様、

１００！＋２から１００！＋１０までの数は

約数を持っているので

「合成数」だとわかります。

１０００！＋２から１０００！＋１０までの
場合も同じく、

１０００！＋２から１０００！＋１０までの数は

約数を持っているので

「合成数」になります。

このように考えていくと、
素数がいかにまばらに存在しているかが
わかりますね。

素数のはじめの数は「２」、
そして「３」「５」「７」「１１」・・・
と小さい数のときは、
すぐ近くに存在していた素数が、
大きい数になると、
滅多にお目にかかれない
貴重な存在となっているのがわかります。

これも「素数」の魅力なのかもしれませんね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

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