"Why not?"は、直前の"the old man (中略)and won't even..."の"won't"を受けて、"not"が付いています。日本人が英訳するときには、こういう"not"をうっかり落としがちなので気を付けましょう。

"As he's her grandfather,..."の"as"は、「彼は彼女の祖父なので...」という理由を表す用法です。

"it is high time he should do something..."は、"it is (high) time (主語) should do..."の構文です。「~するのに絶好の機会だ、当然行われるべき時だ」という話者・筆者の考えを伝えます。

『ロイヤル英文法』(改訂新版)のセクション269「It is time ~ の構文」には、下記の記述があります。

***************************************************************************
仮定法過去が〈It is time ~〉の後に続く節の中で使われ,「~してもよいころだ」という「潮時」を表す。time の前に about,high がつくこともある。また,仮定法過去の動詞の代わりに仮定法現在または〈should+原形不定詞〉がくることもある。(中略)that はふつう(特にくだけた言い方では)省略する。

It was high time (that) they came to a conclusion.
(彼らが結論に達してもいいころだった)
* should を使わないで,仮定法現在を使うのはおもに《米》であるが,比較的まれな用法。

***************************************************************************

また、『ウィズダム英和』の見出し語"time"には、語義6で下記の記述があります。

****************************************************
 [[it's time (for A) to do ]](A<人>などが~すべき時である)
[[It's time for A/(that)節]](A<事>をすべき[~ということをすべき]時である)

(中略)

「コーパスの窓 It's time...」

that節中の時制は現代英語では仮定法的性質は薄まり直説法過去が最も普通だが、<比較的まれ>に仮定法現在(動詞の原形)やshouldを伴うことがある。なお、最近では直説法現在が用いられることもあるが<まれ>。

***************************************************

『ロングマン英和』では、見出し語highで下記の記述があります。

*****************************************************
it is high time (that) 〘話〙 …すべき時だ
(例文) It’s high time you stopped behaving like a child. 子供じみたふるまいはもうやめるべきだ.
*****************************************************

この例文では、現代英語で最も普通の形である直説法過去の"stopped"が使われています。

"I have taken care of her until this summer"の現在完了形は、"until this summer(この夏・今年の夏までずっと)"があることから、「今までずっと~してきた」という継続用法です。それに対して、後半の"now a good place has been offered to me"は、同じ現在完了でも「完了」を表しています。つまり"a good place"が"offer"されて、その"offer"が現在も有効であることを示しています。

"The child shall not hinder me from accepting it"の"shall"ですが、『ロイヤル英文法』(改訂新版)セクション206「shallの用法」の「(1)話し手の意思」に下記の記述があります。

*****************************************************************
主語が2人称,3人称の場合
You shall have this coin. (このコインをあげよう)
He shall contact you.(彼に連絡させます)
* 2人称・3人称でこのように shall を使うのは現在ではまれ。
*****************************************************************

「主語」ではなく「話し手」の意思であることにご注意ください。この場合は、主語"the child"ではなく話し手のデーテの意思を表し、"shall not"であることから"hinder 人 from doing"を「行わせない」と述べています。

"I tell you that!"ですが、『ロングマン英和』で見出し語"tell"を調べると、成句"I'm telling you"で下記の記述があります。


***********************************************
I'm telling you (let me tell you とも, I tell you とも) 〘話〙 本当だよ, うそじゃないって
(例文) I'm telling you, the food was unbelievable! 本当だよ.食べ物がすごくおいしかったんだ!
***********************************************

さらに、"that"を『Eゲイト英和』で調べると、下記の記述があります。

***********************************************
2(相手にすでにわかっている対象・事柄を指して)あの[その]こと,あれ,それ

“My mother passed the driving test."“That's great!"
    「私の母が運転免許の試験に合格したんだ」「それはすごい」
    That's what I'm trying to say.
    それが私が言おうとしていることなのです
***********************************************

まとめると、「私が今言ったことは本気だよ!」「私は本気でそう言ったんだよ!」です。