確率本の第15章で解説している完全順列(モンモール数)の話が、ほぼそのまま共通テストに出てました(有名ネタですが)。
n=5までなので確率本にあるように樹形図書いて終わりですが、15.2の漸化式に代入しても出ます。
そういえば、東大対策文系数学で群論の話をしたのをSNSで見つけました(完全順列に絡めて、すべての置換は巡回置換の積で表せるという有名定理を紹介しました)。
巡回置換で書くと最後の条件付確率は下のようになります。わかる人にしかわからない話で申し訳ないですが、とても面白い。