去年の年末、SNSに次のような質問がありました。
基本的に数学の質問にはお答えしないのですが、面白かったので解説します。
明日のセンター試験に役立つと思います(こんなぎりぎりの段階なので受験生は見なくてもよいですけど(笑))。
まずは問題から(一部分のみ表示します)。
答は、 「必要条件でも十分条件もない」 です。
その生徒の質問は
「rならばpの反例はx=0であるとなぜ気づけるんですか?ひらめきですか?知識ですか?」
というものでした(少し表現盛ってますw)。
では、解説しましょう。
センター試験の必要条件、十分条件の問題を解くには証明力が必要です。
この場合、x=0という反例に気づけなかったらどうします?
まさか、なんとなくとか反例が見つからなさそうだから
r⇒pは真である
と判断しますか?それは危険ですよね。やはり、rならばpを真と証明できてからでないと真と判断するのは怖いですよね。
この場合、たいていの人は、背理法を用いた下のような証明を試みると思います。
さて、下の証明は 間違っている のですがどこが間違っているかわかりますか?
この証明は、下から3行目で両辺をbで割っていますよね。
ところが数学では0で割ることはできません(だから上の証明は誤り)!!
ですが、上の誤答は次のことを意味しています。
もし、b≠0と(どこかに)保証されていれば、上の証明(上の矛盾)は正しい
正確に言うと、
もし反例が(仮にあるとするならば)x=0しかない!!
ということを意味するわけです。
よって、x=0の場合にrならばpが成り立つかどうかを判断して、真偽を判断すればよいということになるわけです。
論理的に考えるということはこういうことなわけです。
今日はこの辺で。