たまには、少しだけ本格的な数学の話を。
複素数ａ＋ｂｉ （ａ，ｂは整数、ｉは虚数単位）をガウス整数といいます。
そして、ガウス整数ａ＋ｂｉの集合をガウス整数環といいます（通常、Ｚ［ｉ]とかく）。つまり、
Ｚ［ｉ］＝｛ａ＋ｂｉ｜ａ，ｂは整数｝
ガウス整数は大学入試にも出てきます。例えば、下は２０００年の一橋大。
このガウス整数環は、整数や多項式と同じように、割り算ができる「ユークリッド環」という非常にいい性質をもっています。
そうすると、素因数分解（正確には素元分解という）を一意的にすることができます（ユークリッド環は一意分解整域でもある）。
素元分解においてこれ以上分解できない数を素元（素数のイメージ）といいます。←正確な定義ではありませんがなんとなくわかかるでしょ
このとき、どういう数が素元となっているか調べてみましょう。
例えば、
２＝（１＋ｉ）（１－ｉ）、５＝（２＋ｉ）（２－ｉ）
という素元分解ができるので、ガウス整数環では、２も５も素元ではありません（整数の集合においては、２も５も素数）。
ちなみに、３はガウス整数環では素元です。
整数ｎが素数でないならば、ｎはガウス整数環でも素元でない
のは明らかなので、上の例でみたように、
整数ｎが素数のとき、ｎがガウス整数環でも素元になるのはいつか？
というのは、興味深い話題です。
これに関しては次の定理があります、
素数ｐがガウス整数環で素元であるための必要十分条件はｐ＝４ｍ＋３（ｍは整数）の形である。
（上の例からも２，５は素元じゃないでしょ）
証明は、－１が平方剰余かどうか（ａ＾２≡―１（ｍｏｄ ｐ）となるａがあるかどうか）を判定すればできるのですが、ここでは省略します（面白いから興味ある人は数論の本を読んでみて下さい）。
これにより、ｐが２か４ｍ＋１型の素数のとき、素元分解
ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）
をすることができます（ａ＋ｂｉ，ｃ＋ｄｉは、±１、±ｉ以外の数（☆）←この４つを単元といいます）
このとき、両辺のノルム（絶対値）考えると、
ｐ＾２＝（ａ＾２＋ｂ＾２）（ｃ＾２＋ｄ＾２）
で、（☆）より、ａ＾２＋ｂ＾２＞１かつｃ＾２＋ｄ＾２＞１がわかるので、
ｐ＝ａ＾２＋ｂ＾２かつｐ＝ｃ＾２＋ｄ＾２が成り立ちます。
これで有名な定理
ｐが３以上の４ｍ＋１型素数のとき、ｐ＝ａ＾２＋ｂ＾２ となる整数ａ，ｂが存在する
が証明できたことになります。実際、
５＝１＾２＋２＾２、
１３＝２＾２＋３＾２、
１７＝１＾２＋４＾２、
２９＝２＾２＋５＾２、
３７＝１＾２＋６＾２
４１＝４＾２＋５＾２
…
という感じで、４ｎ+１型素数は、二つの整数の平方和で表されます。
話はそれますが、先ほどの一橋大の問題も、上の証明と同じように、ノルムとればあっという間におしまいです。
ちなみに逆も成り立ちます。
ｐを３以上の素数とする。ｐ＝ａ＾２＋ｂ＾２ となる整数ａ，ｂが存在するならば、ｐ＝４ｍ＋１型である。
（証明）ｐ＝ａ＾２＋ｂ＾２ のとき、ｐが奇数なので、ａ，ｂは一方が奇数、他方が偶数。よって、
ｐ＝ａ＾２＋ｂ＾２≡０+１≡１ （ｍｏｄ４）
さらに、任意の正の整数ｎは４つの整数の平方和、つまり
ｎ＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｗ＾２
の形で表されることも知られています。
んー、面白い！
今日は、このくらいで。