今回の問題です。
まずは、基本となる公式から。
下図を見てください。
ＡＤとＢＣが平行のとき、ＡＢ、ＣＤの中それぞれＰ、Ｑとすると（左図）、（ＡＤ＋ＢＣ）/2=PQが成り立ちます。
これは右図のように対角線ＡＣを考えて、中点連結定理を使って証明することができます（直観では当たり前）。
（証明）
右図において、２ＰＲ＝ＢＣ，２ＲＱ＝ＡＤより、
ＡＤ＋ＢＣ＝２ＲＱ＋２ＰＲ＝２（ＰＲ＋ＲＱ）＝２ＰＱ
あとは、この式の両辺を２で割ればよい。
この、線分ＰＱを便宜上、ここでは、中央線と呼ぶことにします（なんて、呼ぶんだろう？）。このとき、台形ＡＢＣＤの面積は、中央線ＰＱを使って、次のように書き換えられます。
（台形の面積）＝（中央線の長さ）×（高さ）
証明は下の図にあります。
さて、解答です。
下の図を見てください。
左側の図で青い部分が、２ｃｍ、４ｃｍは自明ですよね。
このとき、Ｌ字の図形を左図の青い線分で２つの台形に分けると、それぞれの面積は
（右上の台形の面積）＝（６＋８）×４÷２＝２８
（左下の台形の面積）＝（14+18)×２÷２＝３２
です（全体の面積は６０）。
これをｌによって、３等分するためには、右図の４つの部分の面積が
緑２０、黄色１２、赤８、青２０
となればよいとわかります。
ここで、中央線を登場させて、次の図のように、４つのその長さを順にａ，ｂ，ｃ，ｄとおきます。
このとき、面積に関する方程式を立てると
４ａ＝２０、４ｂ＝８、２ｃ＝１２，２ｄ＝２０
より、
ａ＝５，ｂ＝２，ｃ＝6，ｄ＝10
とわかります（下図）。ちなみに、ｄは以下では必要ありません。
よって、赤い部分の直角三角形（Ｂから中央線に垂線を下して作る三角形）に注目すると、
ｘ：２＝１：３（ｂ：ｃ＝２：６に等しい）
ので、ｘ＝２/３となり、
ＡＢ＝５－２/３＝１３／３
となるわけです。
なかなか面白いですね。
では、また次回。