今回の問題です。
まずは、基本となる公式から。
下図を見てください。
ADとBCが平行のとき、AB、CDの中それぞれP、Qとすると(左図)、(AD+BC)/2=PQが成り立ちます。
これは右図のように対角線ACを考えて、中点連結定理を使って証明することができます(直観では当たり前)。
(証明)
右図において、2PR=BC,2RQ=ADより、
AD+BC=2RQ+2PR=2(PR+RQ)=2PQ
あとは、この式の両辺を2で割ればよい。
この、線分PQを便宜上、ここでは、中央線と呼ぶことにします(なんて、呼ぶんだろう?)。このとき、台形ABCDの面積は、中央線PQを使って、次のように書き換えられます。
(台形の面積)=(中央線の長さ)×(高さ)
証明は下の図にあります。
さて、解答です。
下の図を見てください。
左側の図で青い部分が、2cm、4cmは自明ですよね。
このとき、L字の図形を左図の青い線分で2つの台形に分けると、それぞれの面積は
(右上の台形の面積)=(6+8)×4÷2=28
(左下の台形の面積)=(14+18)×2÷2=32
です(全体の面積は60)。
これをlによって、3等分するためには、右図の4つの部分の面積が
緑20、黄色12、赤8、青20
となればよいとわかります。
ここで、中央線を登場させて、次の図のように、4つのその長さを順にa,b,c,dとおきます。
このとき、面積に関する方程式を立てると
4a=20、4b=8、2c=12,2d=20
より、
a=5,b=2,c=6,d=10
とわかります(下図)。ちなみに、dは以下では必要ありません。
よって、赤い部分の直角三角形(Bから中央線に垂線を下して作る三角形)に注目すると、
x:2=1:3(b:c=2:6に等しい)
ので、x=2/3となり、
AB=5-2/3=13/3
となるわけです。
なかなか面白いですね。
では、また次回。