おはようございます。
京大理系理系解きました。第6問目がごちゃごちゃしてましたね。昨年並みといった感じでしょうか
第1問
東大と同じくeに関する問題。(1)は微分しておしまい。
(2)は{√(n^2-1)}/nのn(n-1)乗のところで少し考えました。
{√(n^2-1)}/nを(n^2-1)/(n^2)の2分の1乗と考えて、eの定義持ち込めばなんとか解決。
微積あんまり好きじゃなんだなと改めて実感。
標準からやや難。
第2問
整数。ちょっと、ためすと答えは(2,3)と見当がつく(笑)。
他に答がないことを示す証明問題(特進でいつも言ってる話)。
①p、q両方とも奇数だと矛盾するので、少なくとも一方は2とわかる。
②3で割った余りで考えるともう一方は3。
やや易から標準
第3問
正四面体の条件。これは易しい。できんと落ちる。
第4問
体積。y=tで切ったときの切り口(y=tを代入するだけ)が円環になる。標準。
第5問
マルコフ過程。
x座標が0、1,2にいる確率をan、bn,cnとおき、3状態とみなして漸化式をたてる。
式はすぐできる。bnの式にan+cnがあるからbnはすぐ求まるがそれをanの漸化式に代入するとしんどい(特殊解を求める気がうせた)。
an+cn、an-cnに注目すると瞬殺できる。標準。
第6問
複素数平面。
f(x)=(x-α)(x-β)とおいてf(x^3)=f(x)Q(x)にx=α、βを入れて処理。丁寧に場合分けしないといけないので、結構面倒くさい。もう少し、いろいろいじくると面白いことがわかりそう(要研究の問題)。やや難。
京大はやはり面白い。