昨日、テレビを見てたら、フジテレビの番組でばばぬきをやっていました。
どの場面かは忘れましたが、4人のトランプの残りの枚数が4枚、1枚、1枚、1枚になったときに、
「誰がババをもっているんだ??」
と、不毛な会話が聞こえてきました(笑)。
この場合は、4枚もっている人がババをもっていると数学的に証明することができます。
(問題)ばばぬきをする。Aが4枚、B,C,Dが1枚ずつカードを持っているときにAがババを持っていることを証明せよ。
(証明)
カードの枚数は全部で7枚(=4+1+1+1)あるので、その内訳は
J(ババ)、P,P,Q,Q,R,R
の4種類である。
Aは4枚カードをもっているが、その種類はすべて違うはずである(ばばぬきは「同じ種類のカードが2枚あるときは、場に捨てる」というルールがあるから4枚の中に同じ種類のカードは存在しない)。
よって、Aのカードの内訳は
J,P,Q,Rが1枚ずつ
となり、Aがババを持っていることが示された。
ちなみに、ばばぬきで勝つ確率ってどのくらいかわかりますか?
話を簡単にするため、プレーヤーの数を2人、カードの枚数をJ(ババ),P,Pの3枚にしましょう。
(問題)ばばぬきをする。AがJ,Pのカードをもち、BがPのカードをもつとき、Bの勝つ確率を求めよ。ただし、最初はBから引くものとする。
※最初Aから引くときは、確率1で必ずBが勝ちます。
(解答1)
Bが勝つ場合は以下の無限個の場合に場合分けされる。
①BがPを引く
②BがJを引き、AがJをひき、BがPを引く
③BがJを引き、AがJをひき、BがJを引き、AがJをひき、BがPを引く
④BがJを引き、AがJをひき、BがJを引き、AがJをひき、BがJを引き、AがJをひき、BがPを引く
……
このように、無限個に場合分けて計算すると、無限等比級数になって、
3分の2となります。
(解答2)
求める確率をxとおく。Bが勝つのは次の二つの場合。
①BがPを引く
②BがJを引き、AがJをひき、最初の状態に戻ってBが勝つ
これより、
x=1/2+x/4
という方程式ができるのでこれを解いて、x=2/3
ちなみに、ばばぬきの確率は1995年の京都大学後期に入試問題として出ています。
では、また。