昨日、テレビを見てたら、フジテレビの番組でばばぬきをやっていました。
どの場面かは忘れましたが、４人のトランプの残りの枚数が４枚、１枚、１枚、１枚になったときに、
「誰がババをもっているんだ？？」
と、不毛な会話が聞こえてきました（笑）。
この場合は、４枚もっている人がババをもっていると数学的に証明することができます。
（問題）ばばぬきをする。Ａが４枚、Ｂ，Ｃ，Ｄが１枚ずつカードを持っているときにＡがババを持っていることを証明せよ。
（証明）
カードの枚数は全部で７枚（＝４＋１＋１＋１）あるので、その内訳は
Ｊ（ババ）、Ｐ，Ｐ，Ｑ，Ｑ，Ｒ，Ｒ
の４種類である。
Ａは４枚カードをもっているが、その種類はすべて違うはずである（ばばぬきは「同じ種類のカードが２枚あるときは、場に捨てる」というルールがあるから４枚の中に同じ種類のカードは存在しない）。
よって、Ａのカードの内訳は
Ｊ，Ｐ，Ｑ，Ｒが１枚ずつ
となり、Ａがババを持っていることが示された。
ちなみに、ばばぬきで勝つ確率ってどのくらいかわかりますか？
話を簡単にするため、プレーヤーの数を２人、カードの枚数をＪ（ババ），Ｐ，Ｐの３枚にしましょう。
（問題）ばばぬきをする。ＡがＪ，Ｐのカードをもち、ＢがＰのカードをもつとき、Ｂの勝つ確率を求めよ。ただし、最初はＢから引くものとする。
※最初Ａから引くときは、確率１で必ずＢが勝ちます。
（解答１）
Ｂが勝つ場合は以下の無限個の場合に場合分けされる。
①ＢがＰを引く
②ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＰを引く
③ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＰを引く
④ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、ＢがＰを引く
……
このように、無限個に場合分けて計算すると、無限等比級数になって、
3分の２となります。
（解答２）
求める確率をｘとおく。Ｂが勝つのは次の二つの場合。
①ＢがＰを引く
②ＢがＪを引き、ＡがＪをひき、最初の状態に戻ってＢが勝つ
これより、
ｘ＝1/2+x/4
という方程式ができるのでこれを解いて、ｘ＝2/3
ちなみに、ばばぬきの確率は１９９５年の京都大学後期に入試問題として出ています。
では、また。