さっき、「生きざま大辞典ＳＰ」見ました。
そこでも、モンティホール問題を解説していたのですが、本当は高校数学では「条件付き確率」というのを使って計算します。
まずは、モンティホール問題のルールから
① 3つのドア A, B, C に、車、ヤギ、ヤギがランダムに入っている。
②プレイヤーはドアを1つ選ぶ。
③ モンティ（司会者）は残りのドアのうち1つを必ず開ける。
④モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
⑤ モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。
ここで、仮に、プレーヤーが選ぶドアをＣ，モンティが空けるドアをＢとします（どれにしても問題はありません）。
求めるものは、
モンティがＢのドアを開けたとき（これをＥとする）、プレーヤーが選んだドアをＣからＡに変更すると車が当たる（これをＦとする）確率。
つまり、
Ｅが起こったときにＦが起こる条件付き確率
を求めることになります。
まず、Ｅですが、モンティがＢのドアを開ける確率を３つに分けて考えます。
①車がＡにある場合、確率１でモンティはＢのドアを開けます（1/3×１）。
②車がＢにある場合、モンティはＡのドアを開けるので、確率０でＢのドアを開ける（1/3×０）。
③車がＣにある場合、モンティは1/2の確率でＢのドアを開ける[Ａ，Ｂのどちらのドアを開けるかは確率1/2] (1/3×1/2)。
よって、
Ｐ（Ｅ）＝（①または②または③の確率）
＝1/3×１＋1/3×0+1/3×1/2
一方、Ｅ∩Ｆが起こる確率は、上記の①の場合の場合なので、
Ｐ（Ｅ∩Ｆ）＝1/3×１
よって、Ｅが起こったときにＦが起こる条件付き確率は
となり、変更すると確率は２倍の３分の２になります。
これは、トーマス・ベイズと言う人が考えた「事後確率」という考え方です。
情報が与えれると確率は変化する
のです。
モンティホール問題の場合、最初選んだときは当たる確率が3分の１でしたが、モンティが「Ｂのドアが外れ」という情報を与えてくれると、確率が変化し3分の２に変わります。
グッド！モーニングでは、松尾アナが検査で「病気の疑い」と判定されたときに実際に病気である確率の話をしました。
検査で「病気の疑い」と診断されても実際に病気である確率は１％しかないという驚くべき結果だったのですが、実はこれも「事後確率」で情報が与えられると確率が変化するという話です。
①１０００人に一人がかかる病気なので、検診を受ける前は病気である確率は1/1000
②「病気の疑い」と判定されると、病気である確率は 10／1009
情報が与えれると確率が10倍にも跳ね上がるわけです。
情報が与えれると確率が変化するって言うのは不思議に思った人もいるかもしれませんが、これは人間の直観に一致しているんですよ。
例えば、サッカーのクラシコ（バルサ対レアルマドリード）でレアルが勝つ確率が仮に６０％だとしましょう。でもこれって、情報が与えれると変化します。
【情報１】ロナウドがケガのため出れない
レアルの勝つ確率は下がる（例えば５０％とか）
【情報2】ハメス・ロドリゲスがイエローカード累積で出場停止
レアルの勝つ確率は、さらに下がる（例えば４０%とか）
ここんな風にきくと、モンティがドアを開けたら確率が１／3と２／３に変化するというのもなんとなくそんな気がするんでしょうけどどうでしょう。
では、また。