今日の中日新聞のスポーツ欄でこんな記事を見つけました。
日本がネパールに勝ち、クウェートがイラクに勝ち３チームが勝ち点で並んだ場合、日本は無条件で決勝トーナメントに進める（数学ではこれを「日本がネパールに勝つことは、日本が決勝トーナメントに進めるための十分条件」といいます）のですが、こんな風に書いてありました。
（以下、中日新聞引用）
日本は、クウェート、イラクとの２試合を終え、得失点差がプラス１。一方、日本戦での得失点差はクウェートがマイナス３、イラクがプラス２のため、第３戦で直接対戦する両チームがともに日本のプラス１を上回る可能性はない。
いやぁ、一言で言うと、
この説明は数学的にムダが多い
です（合っているか間違っているかで言うともちろんあっているのですが）。
この場合、赤で書いた部分の情報（日本対クウェート、日本対イラクの得失点差）は不要なんですよ。
では、解説してみましょう。
得失点差は必ずゼロサムです。
つまり、当該チーム間での得失点差の合計は必ず０になります。
※例えばこの写真にもあるように４チーム間の得失点差の合計は
６＋１＋２＋（－９）＝０
数学では合計が０になるゲームをゼロサムゲームと呼びます。
今回は当該チームの得失点差なので、日本、イラク、クウェートで考えます。
この3チームの間では、日本の得失点差は＋１です。イラクの得失点差をａ、クゥエートの得失点差をｂとおきます。
ゼロサムですから、
１＋ａ＋ｂ＝０ …①
これより、ａ，ｂのうち少なくとも一方は０以下になります。
（証明）
背理法で示す。
ａ，ｂの両方が正と仮定すると（つまり、ａ＞０、ｂ＞０と仮定すると）、
ａ＋ｂ＞０
となり、ａ＋ｂ＝－１（①に）に矛盾。
よって、ａ，ｂのうち少なくとも一方は０以下（証明終）
というわけで、日本は得失点差において、３位になることがないので決勝トーナメントにすすめるわけです。
ちなみに、ａ＋ｂ＋ｃ＝０のとき、ａ，ｂ，ｃの少なくとも一つが０以下かつ少なくとも一つが０以上であることは、入試の数学の問題を解く際には出てきます。
下は京大の問題ですが、上の事実を使うと、絶対値が場合分けなしに二つ外れるので瞬殺できます。
では、また（笑）。