つづいて、北大理系
第1問
4次関数の複接線の問題。めちゃめちゃ有名問題。
接線から(x-a)^2(x-b)^2を利用。予備校の授業では必ずある問題。
第2問
空間図形。座標でやれば、ただの計算問題。ちなみに、4平方の定理という有名な定理があり(生徒には教えない)、それを使うと面積は3秒ででる。
(4平方の定理)
∠AOB=∠BOC=∠COA=90°である四面体OABCにおいて、
(⊿ABC)^2=(⊿OAB)^2+(⊿OBC)^2+(⊿COA)^2
※証明してみよう!!
第3問
行列。これはやや難か。(1)は帰納法で存在証明。(2)はBn+1を計算するとでます。
ちなみに、行列の漸化式は数列の漸化式のアナロジーが多いです。今回の数列版だと、
(an+1)×(an)=(an)+2
(an+1)×(an)+(an+1)+(an)+1=2(an)+(an+1)+3
{(an)+1}{(an+1)+1}=2{(an)+1}+{(an+1)+1}
1=2/{(an+1)+1}+1/{(an)+1}
※割り算の分母≠0の議論省いてます
で
(bn)=1/{(an)+1}
とおくので、分母に(An+E)^(-1)が出てくるわけです。特性方程式を解くと分子の数学的意味もわかります。
※添え字見にくくてすみません
第4問
文系と共通
第5問
微積分の基本定理の応用。手頃なレベル。良問。