「切にご容赦頂きたく」はお詫びの意思を強調しながら、より謙虚さを示す丁寧な言い方なのだそうです。
『切に』は、相手の心を動かすような強い意志や願いを強調する副詞です。
『容赦』は、相手を許すことですが、「ご容赦ください」は、許しを請うというよりは、相手の期待に添えないときに、前もってお断りをしておくという使い方が多いようです。
たとえば、「売り切れの節はご容赦ください」などです。
なお、『容赦』は、「容赦しない」という形で、「手加減しないぞ」という意味でも使用されますので、要注意です。
似た表現に「平にご容赦頂きたく」「何卒ご容赦頂きたく」もありますが、若干文語調になるのだそうです。