「口を酸っぱくして○○」は、親や教師が子供を躾けるとき、
しかも、なかなか分かって貰えないときに多く使われます。
意味は、「同じ注意や小言を何度も何度も繰り返して言うこと」です。
本来は、相手に分かって貰えるかどうかは問題とせず、念入りに何度も繰り返し述べる様子を形容するための比喩表現です。
何度も何度も同じことをしゃべり続けたり、あるいは長時間延々としゃべり続けて実際に口内が酸っぱくなったという報告例は見たことがありません。
実際に口が酸っぱくなる場合には『胃酸過多』『逆流性食道炎』『自律神経失調症』『虫歯』などの病気が考えられるそうです。
という訳で、『口内の酸っぱさ』はいくつかの病の前兆現象として重要な指標かもしれないのに、なぜしゃべり続けることを「口が酸っぱくなる」と例えたのでしょうね。
ChatGPTでも、「特定の文献や研究があるわけではありません・・・・」と答えてくれます。