【はじめてのプチコン】１６進数

チェックポイント コンピュータには２進数が都合がいいのは分かっていただけたと思います。 実際にプログラムの中でもハード（コンピュータや周辺の機械）よりのプログラムになると特にこの２進数が必要になってきます。 しかし我々が普段計算するのは１０進数なのでその間で数値の変換を行うわけです。 ですが１０進数だと２進数がピンとこないし、 ２進数だと０と１の羅列なので実際に合ってるんだか間違ってるんだかわからないことが多く。 一つの値を指定するのに３２ビットの場合には３２桁必要です。（要するに冗長だということです） この２進数の良さを残しもう少し分かりやすい表現方法があれば非常に助かると思いませんか？ そこで登場するのが１６進数です。

今回のサンプルゲームでもＢＵＴＴＯＮ関数の値をマスクするのには２進数で考えた方が楽です。
例えばＡボタンが押されたかどうかを判断するのに１６という値が使用されていました。
しかしこの１６の本来の意味はＢＵＴＴＯＮ関数が返す値がＢＯＴＴＯＮのハードウェアの状態を１ビットで表し、
すべてのボタンの情報をまとめて返すため、必要なＢＯＴＴＯＮの情報だけを抜き出す作業としてマスク処理を行う必要があり、
そのビット位置を指定するための &B000000010000 という値が必要だったからです。
これをそのまま２進数で使った方が１０進数より分かりやすわけです。
しかしこれで本当に正しいのでしょうか？

２進数だと１が右に一つずれていても分かりにくためバグを生み出す危険性が残ります。
そこで１０進数と２進数の間の表現として１６進数を使います。

では１６進数とはどんなものかですね。
当然、１６で１桁上がりする数が１６進数です。
では数えてみましょう。

０、１，２，３，４，５，６，７，８，９・・・ん？

次は１０だけど・・・これでは桁上げしてますから一桁で表わさなければなりません。
皆さんは９の次の数字知ってますか？

実は私も高校２年になるまで０～９しか知りませんでした。

まぁ、結果として数字は９以上はないんです。

ないので９の次はＡです。

ではもう一度数えてみます。

０、１，２，３，４，５，６，７，８，９，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ　

これで１５まで一桁で数えることができました。
次は１６なので桁上げしていいので１０となります。

ここで２進数と１６進数と１０進数の関係をまとめてみます。
２進数をバイナリといい、今後ＢＩＮと表します。
１６進数はヘキサデシマルといい、今後ＨＥＸと表します。
１０進数はデシマルといい、今後ＤＥＣと表します。

 BIN HEX DEC
0000   0   0
0001   1   1
0010   2   2
0011   3   3
0100   4   4
0101   5   5
0110   6   6
0111   7   7
1000   8   8
1001   9   9
1010   A  10
1011   B  11
1100   C  12
1101   D  13
1110   E  14
1111   F  15

２進数から１０進数へ変換したり、
１０進数から２進数へ変換する方法は説明しました。
まぁ、はっきり言って変換するのは面倒です。

しかし、１６進数はどうでしょうか？
２進数から１６進数へ変換するには２進数を４桁毎に上の表から選んで書き換えればいいわけですよね。
１６進から２進数も同様です。

では１６進数から１０進数へはどうするか？
方法は２進数から１０進数へと変換するのと同じです。
掛ける重みが１６のべき乗となります。

１桁目の重みは・・・１６＾０・・・１
２桁目の重みは・・・１６＾１・・・１６
３桁目の重みは・・・１６＾２・・・２５６
ｎ桁目の重みは・・・１６＾（ｎ－１）

それに１６進数１桁の値を掛けてすべての値を加算します。

たとでば１６進数２３を１０進数に変換すると。。。

１桁目・・・重み１×１６進数１桁の値３・・・３
２桁目・・・重み１６×１６進数１桁の値２・・・３２
合計して３２＋３＝３５

答えは３５となります。

１０進数から１６進数へは１６で割った余りを２進数のときと同じように処理すれば変換できます。


じゃ、１０進数と１６進数の変換では２進数のときと同じかと思われますが、
明らかに桁数が４分の１なので計算量が違います。
これだけでもメリットになります。

【はじめてのプチコン】負の数（２の補数）

チェックポイント ここでまたプログラムから離れますが、コンピュータが扱うデータのことをある程度知っておかなければ自由にプログラムを作ることはできません。 今回は２進数で負の数を表現する方法について解説します。

プチコンで扱う数値データは３２ビットの２進数を使用しています。
以前にも書きましたがコンピュータは２進数で物事を処理しています。
しかし、実際に我々の身の回りにあるデータはいろいろな形の情報が存在します。
なので我々プログラマは情報をコンピュータで認識できるデータに変換する必要があります。
例えば負の数もそのひとつです。

プチコンでは３２ビットの２進データのうち２０ビットを整数部で使い、１２ビットを小数部で使っています。

これは１０進表現のデータだけです。

どうもプチコンでは１０進以外に２進数と１６進数が使えるのですが、この表現の場合は整数部しか扱えないようです。
（そう感じているだけですけど、今後調べてみます。また16進数については後で書くとしましょう。）

ここでは小数部分を考えずに整数部分でのみ考えてみたいと思います。
要するに2進数２０ビットで考えてみます。

前回０のＮＯＴ（否定）で－１になりました。
０は２進数２０ビットで表現すると…

00000000000000000000

ＮＯＴは０が１に、１が０になります。
そうすると０をＮＯＴすると…

11111111111111111111

これが－１なのです。

そこで前回も書きましたが先頭のビットを符号ビットとかサインビットと呼びます。
このビットが０のとき正の数を表し、１のとき負の数を表します。

２０ビットであらわせる値は先頭のビットが符号ビットとして使われると正の数（０も含めて）の範囲は

00000000000000000000 から 01111111111111111111 までです。

（１０進数では０～５２４２８７です）

負の数の範囲はどうなるかですが…
現在わかっていることが 11111111111111111111 が－１だということです。

まずなんでこの値が－１何でしょうか？

でも答えは簡単なのです。
もしこの値が－１と仮定しましょう。
２進数でも加算はわかりますよね？
減算より加算の方が分かり易いので次の計算をやってみましょう。

まず１０進数で検証します。
この値が－１であることを簡単に実証するには

１－１＝０

を実証してみればいいわけです。
これは減算ですがこの式を

１＋（－１）＝０

と置き換えればいいわけです。
では２進数の計算です。

 00000000000000000001
+11111111111111111111
─────────────────────

では一番下の桁から計算します。
１と１を足すと０で１桁上げします。

                   1    ←桁上げ
 00000000000000000001
+11111111111111111111
─────────────────────
                    0

次の桁も桁上げの１と０と１を足すので０で桁上げ１となります。

                  1    ←桁上げ
 00000000000000000001
+11111111111111111111
─────────────────────
                   00

最後の桁まで計算すると

1                      ←桁上げ
 00000000000000000001
+11111111111111111111
─────────────────────
 00000000000000000000

最後こ桁からの桁上げですが有限桁での計算ではこの桁上げは数値には反映されません。
この桁上げをキャリーと呼びます。
覚えておいていただければと思います。

どうでしょうか？
結果が０になりましたね？

だから 11111111111111111111 は－１であることが理解できますね。
それ以外の負の数はどうやって計算しましょうか？

大丈夫です。
符号反転の方法をここで説明します。
符号反転は１ならば－１にすることです。
この方法は元の値をＮＯＴして１を加えるという計算です。

では今度は１の符号反転を行ってみましょう。
まず１をＮＯＴします。

 00000000000000000001
─────────────────────
 11111111111111111110

これに１を足します。

 11111111111111111110
+00000000000000000001
─────────────────────
 11111111111111111111

となります。
これは－１ですね。

これで計算するといいわけです。

11111111111111111111 -1
11111111111111111110 -2
11111111111111111101 -3
11111111111111111100 -4

（中略）

10000000000000000001 -524287
10000000000000000000 -524288

ただ・・・プチコンではなんと最後の値が－０という表示になりますが、仕様なので仕方ありません。


この様に２進数の符号反転はＮＯＴし１を足す方法で求めることができます。
この方法を２の補数と呼びます。

【はじめてのプチコン】論理演算

チェックポイント DSiのボタン情報を取得するとき AND 演算子を使用しました。 この処理をマスク処理と呼びます。（過去記事参照のこと） 論理演算を使うことで意外と面倒な処理を比較的簡単に解決することができます。 そのためにも論理演算がどんな演算なのかを知っておきましょう。

論理演算は２進数１桁毎の演算です。
２進数は０と１の２つの値しかありません。
その演算の組み合わせは４通りしかありません。
では論理演算はどういうものか見てみましょう。

■ＯＲ（論理和）
a	b	a OR b
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

もともと論理とはその条件が成立するのかしないのかを計算するもので条件が成立する事を真または true と表し、２進数では１となります。
逆に成立しないことを偽または false と表し、２進数では０となります。
論理和は２つの条件がどちらか一方が成り立つ場合に真となります。
上のような論理演算の表を真理値表といいますが、その表を見てください。
a の条件と b の条件のどちらか一方が成り立てば真（１）となります。

■ＡＮＤ（論理積）
a	b	a AND b
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

論理積は２つの条件が共に成り立つ場合真（１）となります。

■ＸＯＲ（排他的論理和）
a	b	a XOR b
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0

排他的論理和は論理和に近いのですが２つの条件のどちらか一方のみ成立する場合に真（１）となります。論理和は両方共に成立しても真ですが、排他的論理和は片方のみ真のとき真となります。

では実際にそれが本当なのか実際にプログラミングしてみましょう。
論理演算は２進の各桁で計算されます。
上の真理値表の a は上から 0011 です。
b は上から 0101 です。
ということはこの表の計算を一度に計算するのですから

0011 OR 0101
0011 AND 0101
0011 XOR 0101

でいいわけです。
計算は２進で計算されますが結果が１０進で表示されるので変換表も表示しておきます。

あ、もうひとつ論理演算に NOT があります。
これは否定です。
真（１）だったら偽（０）へ、偽（０）だったら真（１）へ反転します。

■変換表
１０進数	２進数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

■プログラム

0001 ' sample program 0002 A = &B0011 0003 B = &B0101 0004 ANS_OR = A OR B 0005 ANS_AND = A AND B 0006 ANS_XOR = A XOR B 0007 PRINT "OR=";ANS_OR 0008 PRINT "AND=";ANS_AND 0009 PRINT "XOR=";ANS_XOR 0010 PRINT "NOT=";NOT 0 0011 END

実行結果は？

0011 OR 0101 = 0111 = 7
0011 AND 0101 = 0001 = 1
0011 XOR 0101 = 0110 = 6

だから

OR=7
AND=1
XOR=6

になりましたか？

問題は NOT なんですが０の反転は・・・１なのに・・・答えは－１でした

本来０とは２進数でプチコン内部では３２ビットの固定少数点方式です。
整数部分は２０ビット（だったかなぁ？）小数部は１２ビットで下記のようなものです。

00000000000000000000.000000000000

しかし、論理演算で整数で扱えば２０ビットの値と同じです（たぶん＾＾；）

ですので０は２進数で

00000000000000000000

です。
これを NOT すると

11111111111111111111

となります。

実は数値は負の値も持っています。
ちなみに一番左のビットはサイン（符号）ビットともいいます。
０のとき正の数で、１のとき負の数です。

じゃ、正の１は

00000000000000000001

だから負の－１は

10000000000000000001

では？
って、たぶん賢いあなただったら思うはず！！

けど現実は違って

11111111111111111111

が－１なのです。

では次回なぜそうなのか解説したいと思います。