セルモ大蔵（世田谷）の塾長ブログ

展開と乗法公式、答えは同じでも身につく力はまったく違います

中3の数学では、1学期は計算問題がメインであり、この時期は、多項式の計算、展開、乗法公式の順に学習しています。

ここで、展開については分配法則をもとに、順番にかけ算をして整理し、答えを求めるため、ノートに書きながら計算（筆算）をします。

一方で、乗法公式については、計算の手順を一つひとつ追うのではなく、「見た瞬間に結果が思い浮かぶ」ようにしていく方法です。慣れてくると、ノートに書かなくても答えが出せるようになります。

展開は、確実に答えを求めるための筆算。

乗法公式は、計算を速く効率よく進めるための考え方、いわば近道（ショートカット）です。

どちらも大切な力ですが、ここで大きな違いがあります。

それは、この先に学習する「因数分解」とのつながりです。

因数分解は、展開を逆向きに考える単元なのですが、実は乗法公式との相性がとても良いのです。

この「逆向き」をイメージするとき、乗法公式は「かけ算」、因数分解は「割り算」のようなものだと考えると、とても分かりやすくなります。

乗法公式では、（x＋3）（x＋4）のように、かけ合わせて、x²＋7x＋12という一つの式をつくります。
因数分解では、x²＋7x＋12のような式を見て、もとの（x＋3）（x＋4）に戻していきます。

つまり、やっていることは同じですが、向きが反対なのです。

そして、この「逆向き」の発想に必要なのは、計算の手順ではなく、「数字どうしの関係に気づけるかどうか」です。

例えば、次の4つの式を見てみます。

（x＋4）（x＋3）＝ x²＋7x＋12
（x－4）（x－3）＝ x²－7x＋12
（x＋4）（x－3）＝ x²＋x－12
（x－4）（x＋3）＝ x²－x－12

どの式も、使っている数字は「3」と「4」でまったく同じです。
違うのは、符号だけです。

それにもかかわらず、真ん中の項や最後の数が変わり、異なる数式になります。

「足すといくつになるのか」
「かけるといくつになるのか」
「符号が変わると、どこが変わるのか」

こうした数字どうしの関係に気づけるようになると、乗法公式はただの計算ではなくなります。

そして、この見方が、そのまま因数分解につながります。

x²＋7x＋12 を見たときに、
「7になる組み合わせは3と4」
「12になるのも3と4だな」
と気づけるかどうか。

これが、因数分解で一番大切な力です。

展開を筆算で繰り返しているだけでは、この視点はなかなか育ちません。
しかし、乗法公式を通して数字の関係を意識しながら練習していると、因数分解に入ったときに、自然と手が動くようになります。

今、展開や乗法公式を学習しているクラスは、連休明けには因数分解の学習に入り、早い学校では中間テスト、遅くとも1学期期末テストの範囲になります。

今取り組んでいる乗法公式は、そのまま次の試験範囲の理解に直結していきます。

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