はじめに
誰にもきちんと読んでもらえない気がする。
正四面体３つくっ付けた問題
予想どおりまったく反応のなかった問題。一辺の長さ1の正四面体を3つくっ付けたときに、孤立した頂点の長さは？という問題。以下の図のEFの長さを求めよということです。
この問題は高校の数学の先生に教えてもらった問題。知人に高校入試用によい問題はないかときかれて考え付いたらしい。難しすぎて採用されなかったとか。
というわけで、中学生でも解ける問題です。
断面図
普通はEBCF断面で考えようとするはずです。MはADの中点です。
非エレガント解法1
当時の私の解き方。三平方と相似だけで解きました。どうせ誰も見ないだろうけどアップしておきます。
非エレガント解法2
数学IIつまり三角関数まで学ぶと、おそらくこうやって解きたくなる気がします。息子もおそらくこれで解く気がしますが、出題したけど無視され続けています。余弦定理と三倍角（は覚えていないから加法定理を使いますが）で解けます。自然な解き方だと思います。
エレガントな解き方
計算しません。暗算…というほどの計算ですらないです。知識が必要だと言われれば、そうなのかもしれませんが、知っていても思い付くかは別問題。交点が重心だと言われりゃ、ああ、なるほどって思うけど、初見で問題解いているときに重心だとは気づけなかったです。
結論
エレガントな解法なんて思い付かなくても、パワー！で計算すれば問題なし。