1965年のドラフト2位で近鉄バファローズに入団。新人の年にオールスターゲームに出場。
入団1年目に10勝、以後15年連続二桁勝利、翌年からは5年連続20勝以上をあげ、押しも押されもせぬ近鉄のエースとなった。1968年ノーヒットノーランを達成。1969年に24勝で最多勝。1971年2度目のノーヒットノーランを記録した。1967年から1972年にかけて6年連続で最多奪三振。鈴木本人によると「入団当初はノーコンでね。1年目の開幕直後には四球連発で二軍に落とされたこともある。制球力を付けられたのは日生球場のお陰やで。ホームランを警戒して低めをつく投球を、球場が教えてくれた。2度のノーヒット・ノーランは日生がくれた褒美やった。」と当時を振り返った。
その後、1974年に監督に就任した西本幸雄の指導により、力任せの直球主体の投球を改め制球・配球を重視する頭脳的なピッチングを構築していく。当初は西本に反発しが、やがて西本が自分とチームのことを本気で考えていると気づき、その指導を受け入れていった。この年は4年ぶりに20勝以上を挙げ、防御率も2.26の好成績を残す。奪三振数は減少したが、無駄な四球と失点も減少した。1977年には200勝を達成、20勝で最多勝を残した。
翌1978年、25勝で2年連続最多勝、防御率2.02で最優秀防御率を獲得した。同年に当時の日本新記録となる10試合連続完投勝利を記録し、見事な投球で往年の剛球が蘇り、最多奪三振・最多完封も記録し、「五冠」のうち勝率を除く4つの部門でリーグトップの成績を残した。この年は阪急が逆転優勝を遂げて3年ぶりの半期優勝を逃した。試合後、辞意を仄めかした西本監督に対して「監督をやめないでくれ! オレたちを見捨てないで下さい」と鈴木は絶叫。他の選手もそれに賛同したことで西本は留任し、翌年悲願の初優勝を達成、翌々年も優勝を果たした。
1981年は5勝11敗となり、シーズン終盤に引退を決意して西本に伝えると「つらいほうの道を選んでみい。楽なほうは、いつでも選べるんや」という返答を受ける。
鈴木は現役を続行し、1982年からは再び10勝台を記録するとともに、2年続けてリーグの最多無四球完投投手となった。
1984年通算300勝および3000奪三振達成。
この年、公共広告機構コマーシャルに起用され、「投げたらアカン」という言葉が流行語大賞を受賞した。
翌1985年現役引退を表明。鈴木は引退を西本幸雄に報告に行くと、西本からは勝負する人間の目ではないと指摘され「ご苦労さん」と声を掛けられた。]。
鈴木引退の報を聞いた阪急の監督上田利治は、引退の花道にとオールスターゲーム（近鉄の本拠地である藤井寺球場での初開催も予定されていた）への出場を鈴木に持ちかけるも辞退した。鈴木によると、上田に「パ・リーグの選手皆で胴上げしたるから出てくれ」と言われたが「有り難い話やったけど、歴史のあるオールスターを俺一人の舞台にしたらアカンと思って断った」という。
通算317勝は歴代4位。彼を最後に日本プロ野球には300勝投手は現れていない。
現役時代の背番号1は1985年以降、パ・リーグ唯一の永久欠番となっていたが2004年シーズン終了後の近鉄とオリックスの合併（オリックス・バファローズ誕生）により失効とされたが、オリックスでも背番号1を永久欠番とする考えがあり、鈴木に電話で伝えるも、鈴木本人が「自らの永久欠番はあくまで近鉄でのもの。背番号1をどうぞ使ってください」とし返答。
あまり強く無かったころの近鉄で317勝は凄い
大エースですね❗️
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