速報センター試験ⅡＢ問題１の（２）

k>0
(cosx)^2-(sinx)^2;k(1/(cos)^2-1/(sin)^2)=0 ①

(1) 0①×(sinx)^2(cosx)^2

(sinx)^2(cosx)^2((cosx)^2-k((cosx)^2-(sinx)^2)=0
(sinx)^2(cosx)^2((cosx)^2-(sinx)^2)-k((cosx)^2-(sinx)^2)=0
1/4(2sinxcosx)^2(cos2x)-k(cos2x)=0
cos2x(1/4×(sin2x)^2-k)=0
((sin2x)^2/4-k)cos2x=0

2x=2nπ±π/2
n=0
x>0
x=π/4

0k>1/4 のとき　π/4のみ
0(sin2x)^2=4k を満たすのは2個
cos2x=0より1個で計3個
（グラフを描く。(sin2x)^2=(1-cos4x)/2
なので周期π/2,y=4kとの交点は2個、y=cos2xは
周期πでｘ軸との交点は1個）
k=1/4のときx=π/4で接するので1個。

(2)　k=4/25
π/4sin2x=√(4×4/25)=4/5
cos2x<0ゆえ
cos2x=-√(1-(4/5)^2)=-3/5

cos2x=2(cosx)^2-1=-3/5
2(cosx)^2=2/5
cosx=1/√5=√5/5

グラフは描いてみてください。
周期に注意。

速報センター試験2016数ⅡB第4問

第4問

s、tは実数、a,b,cをベクトル、OPなどはベクトル,abs(PQ)はベクトルPQの絶対値,*は×と内積に使いました。

(1)　OP=sa, OQ=(1-t)b+tc ①
ab=ac=3*2cos60°=6*1/2=3
(abs(PQ))^2=(abs(OQ-OQ))^2=(abs(OQ))^2-2(OQ*OP)+(abs(OP))^2
(abs((1-t)b+tc))^2-2(sa)*｛(1-t)b+c｝＋((s*abs(a))^2
①を使って
(3s-1)^2+(2t-1)^2+2
∴s=1/3,t=1/2
abs(PQ)=√2

(2)
OA*PQ=a*((1-t)b+tc-sa)
=3(1-t)+3t-9s
=3-3
=0
∴90°
△APQ=1/2*2*√2
=2

OG=(a+b+c)/3
=1/3a+(b+c)/3
ここで
OQ=(1-t)b+tc
=1/2b+1/2c
∴b+c=2OQ
(b+c)/3=2/3OQ
∴OG=1/3OA+2/3OQ
∴2:1
△GPQ=1/2*2*√2*1/3
=√2/3
この問題が一番やりやすかったかもしれません。
総じて数ⅠAの方が手こずったように思う。
数ⅠA、それほど平均点は高くないと予想。

受験生は終わったことは忘れてめげずに頑張って下さい。

センター試験2016数ⅡB第3問

ⅡＢ第３問

1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,・・・・

(1) 分母が同じものを群にすると

n(n+1)/2=15 からn=5
5群の最後は5/6 a(15)=5/6

(2) 分母が8であるのは8-1=7群、6群の最後まで項は6*7/2=21なので
7群はじめの項が1/8で22項目　∴a(22)



1/kはk-1群の初めの項なので　Mk=(k-2)(k-1)/2+1=1/2*k^2-3/2*k+2
(k-1)/kはk-1群の最後の項
Nk=k(k-1)/2=k^2/2-k/2

n(n+1)/2 104以下で最も近いのはn=13 13*14/2=91 104-91=13
よってa(104)は14群の13番目で13/15

(3)MkからNkまでの和
1/k+2/k+3/k+4/k+・・・・(k-1)/k
=1/k*(1+2+3+････(k－1)）
=1/k*k(k-1)/2
=1/2k-1/2

a(n)の初項からNkまでの和
=Σ(i=1,k)(1/2*i-1/2)
=1/4*k^2-1/4*k　①

Σ(n=1,103)a(k)
14*15/2=105なので a(103)は14群の最後の項から３つ手前
k＝15で①を使って
1/4*15^2-15/4-14/15-13/15
=507/10

算数を駆使し誘導に従わない方が楽な場合がある笑。