攪拌装置４
攪拌装置シミュレーション
攪拌の相関式をエクセルに代入して求める。
攪拌所要動力の相関
攪拌所要動力P＝2πn(τω(πDH)(D/2))(1+α)
D：槽径
H：液深さ
T：槽壁側に働くトルク＝τω(πＤＨ)(D/2)
υθ：代表速度
L：代表長さ
f：邪魔板なし攪拌槽側壁の摩擦=CL/ReG+Ct(((Ctr/ReG)^-1(f∞/Ct)^(1/m))^m
α 0.2
f：摩擦係数=τω/(ρυθ^2/2)
ReG：一般化レイノルズ数=Lυθρ/μ 式1.3
υθ：攪拌槽の代表速度=πndβ/2 式1.4
L：攪拌槽の代表長さ=(D/2)ηln(D/d) 式1.4
β：補正係数=2・ｌｎ(D/d)/(D/d-(d/D)) 式1.5
np：羽根枚数
η：0.711(0.157+(np・ｌｎ(D/d)^0.611)/(np^0.52(1-(d/D)^2)) 式1.6
Np：動力数=P/ρn^3d^5
Red：攪拌レイノルズ数=nd^2・ρ/μ
RｅG=((πη(D/d))/(4d/βD))Red 式1.7
Np=((1+0.2)π^4・β^2)/(8(d^3/D^2H))f 式1.8
パドル翼、傾斜パトル翼の動力相関
d：翼径
ｂ：翼高さ
np：羽根枚数
θ：傾斜パトル翼の傾斜角
CL：0.215ηnp(d/H)(1-(d/D)^2)+1.83(bsinθ/H)(np/2sinθ)^(1/3)
Ct：(1.96x^1.19)^(-7.8)+0.25^0.78)^(-1/7.8)
ｍ：(0.71x^0.373)^(-7.8)+0.333^(-0.78)^(-1/7.8)
Ctr：23.8(d/D)^(-3.24)(bsinθ/D)^(-1.18)x^(-0.74)
f∞：0.0151(d/D)Ct^0.308 式1.9
ここで、
ｘ＝γnp^0.7・bsin^1.6・θ/H 1.10式
γ=(η・ｌｎ(D/d)/(βD/d)^5)^(1/3) 式1.11
相関式の使用条件の拡張
前項の相関式の基本となっている1.10式のXは、現象理論的には攪拌翼に働く最大トルクと槽壁に働く最大トルクの比に比例する量である。
1.10式を置き換えると、
X＝(γ/8.3)(d/H)Npmax 式1.12
パトル、傾斜バトル翼に対してNpmaxは、=8.3np^0.7*bsin^1.6*θ/d 式1.13
金網パトル翼の動力相関を試みる、金網パトル翼の完全邪魔板条件での動力相関式Npmaxは攪拌レイノルズ数Redおよび金網の空隙率εに依存し、次式で相関される。 Npｍａｘ/np^0.7b/d)^0.6=1+(0.0027+0.0022(Ｒｅ(l/d(1ε)^-1.32))^-0.37
吐出流量の相関
吐出流量数Ｎqd(=Qｄ/nd^3)
Nqd=0.088(βπ)^2(1+0.2)f^0.5*(D^2H/d^3)*(γnp^0.7b/D)^0.5(γnp^0.7b/D＜0.25)
Nqd=0.044(βπ)^2(1+0.2)f^0.5*(D^2H/d^3) (γnp^0.7b/D>0.25)
摩擦係数を動力数Npで置き換えると
Nqd=0.5β((D^2H/d^3)Np)^0.5*(γnp^0.7b/D)^0.5 (γnp^0.7b/D＜0.25)
Nqd=0.25β((D^2H/d^3)Np)^0.5 (γnp^0.7b/D>0.25) 1.21式
混合時間の相関
攪拌槽の混合操作
DC/D(tQd/V)=(εturbV/QdD^2)∇^2*C 1.22式
(tMQd/V)=A(εturbV/QdD^2)^B 1.23式
(tMQd/V)∝(tMn)(Nqd)(d^3/D^2H)=Y 1.24式
1.23式右辺のパラメータはεturbをどのように推算するかで表示変換が異なってくる。
ここでは２つの方法を考える。
手法１：乱流拡散係数εturbは翼先端見掛けせん断速度βudと槽径Dに比例すると仮定、この時、ud=uω(D/d)の関係と式1.3の摩擦係数∫の定義を用いてεturbは次式の比例関係を与える。
εturb∝βud*D=(f/2)^(1/2)(β^2πnD^2/2) 式1.25
従って式1.23の右辺の無次元数は次式のように書き換えられる。
(εturbV/QdD^2)∝β^2(D/d)^3(H/D)(f/2)^(1/2)/Nqd 式1.26
式1.8の摩擦係数fと動力数Npの関係を用いて式1.26を変形すると次式を得る。
(εturbV/QdD^2)∝β(D/d)^(3/2)(H/D)^(1/2)Np^(1/2)/Nqd=X1 式1.27
実験データの比較から、邪魔板なしの攪拌槽での混合時間は二つの無次元数の積が一定になることを示した
ＹＸ1=(tＭn)β(d/D)^(3/2)*(D/H)^(1/2)*Np^(1/2)=13.5 式1.28
また、邪魔板付き攪拌槽での混合時間のﾃﾞｰﾀはYX1の積がX1に依存するとし、次式の相関を与えている。
YX1^0.85=const 式1.29
手法2：乱流拡散係数εturbが乱流の代表長さｌと代表速度((P/ρV)l)^(1/3)に比例するとして式(1.23)の右辺の無次元数を書き換えることを試みる。
εturb∝((P/ρV)l)^(1/3)・ｌ 式1.30
この時、式1.23の右辺の無次元数は次式に書き換えられる。
(εturbV/QdD^2)∝(H/D)^(2/3)(ɭ/d)^(4/3)・Np^(1/3)/Nqd 式1.31
ここで、乱流代表長さɭは、Nienowの仮定と同じく、攪拌槽径Dに比例するとして式(1.31)の右辺に置き換えると、
(H/D)^(2/3){(D/d)^4・Np/Nqd^3}^(1/3)=X2 式1.32 { }内はNienowにより示されでいる吐出効率係数の逆数と同じである。さらに、式(1.32)を3/4乗した変数は上和野らが攪拌槽の混合時間の相関に、Kohらがジェット攪拌の混合時間の相関に用いた変数と同じである。
(H/D)^(1/2){(D/d)・Np/Nqd^3}^(1/4)=X3 (=X2^(3/4)) 式1.33
上和野らは直接にはここで導かれた変数Y、X3を用いて相関していないが、報告された相関式を変形すると次式となる。
Y=1/(0.088(1+0.21X3^2)) (H=D) 式1.34
Kohは、ジェット攪拌の混合時間の相関に際し上記の変数Y、X3を用いて図1.5のように相関し、翼攪拌の混合時間の相関も含めた次式の相関式を与えた。
Y・X3=4.8 (=Y・X2^(3/4)) 式1.35
上式と式1.29の比較から、Yはオリジナルの変数X1またはX2の0.75~0.85乗に逆比例している。Kohらに従ってジェット攪拌の所要動力P及び吐出流量Qdを、ノズル径dn及びノズル流速ujを用いて、それぞれ、
P=(ρuj^2/2)Qd、 Qd=(πdn^2/4)uj 式1.36
と記述し、式1.35に代入して、
tm=6.4D^1.5・H^0.5/ujdn 式1.37
上式は沖田-大山のジェット攪拌の混合時間の相関式に同じとなる。一方、式1.35を無次元混合時間tMnを用いて書き換えると次式になる。
ｔMn=4.8(Np・Nqd)^(-1/4)(D/d)^2(H/D)^(1/3) 式1.39
槽壁伝熱係数の相関
次元解析に基ずく相関：撹拌槽特有の次元解析では、代表速度には翼先端速度に比例するnd、代表長さには攪拌翼径d(但し、Nu数の代表長さには槽径D)が用いられ、次式が与えられてきた。
hD/κ=K1(nd^2ρ/μ)^(2/3)Pｒ^(1/3) 式1.40
Pγ(=cpμ/κ)：プラントル数
K1：翼寸法(d/D、b/d、np、sinθ)の関数
Caderbank-MooYoungは乱流場でKol-mogorffの代表速度(Pυμ/ρ^2)^(1/4)を用いて次式のように相関した。
hɭ=κ=K2(ɭ(Pυμ/ρ^2)^(1/4)ρ/μ)^aPr^(1/3) 式1.41
ɭ：代表長さ
Pυ：液単位容積当りの攪拌所要動力P/V
a：定数 1
K2：定数 0.13
Caderbank-MooYoungは実験よりa=1、K2=0.13を与えて翼寸法を含まない次式で相関できるとした。
h/ρcp=0.13(Pυμ/ρ~2)^(1/4)・ρ/μ)^(1/4)・Pr^(-2/3) 式1.42
佐野らは実験によりa=0.227を与え、K2は翼寸法の関数として相関した。 熱と運動量移動の相似性に基ずく相関
一般に平板境界層での熱及び運動量移動の相似性は次式による。
τω/ρuD^2=(qω/ρCpuD(TＤ-Tω))Pr^(2/3) 式1.43
uD：境界層端の速度
TD：境界層端の温度
qω：壁での熱流束
Tω：壁での温度
十分に攪拌されている条件では翼先端で与えられた角運動量が槽壁まで保存されると仮定すると、ρ(D/2)uD=ρ(d/2)(πnd)とおける。
従って、式1.4の攪拌槽の代表速度υθを用いてuDを表すと次式になる。
uD=(2d/βD)υθ 式1.44
摩擦係数fの定義式1.3と式1.44を式1.43に代入し、乱流場の摩擦係数fの相関式1.2のCt及びmが0.25および1/3と置けるとして式1.43を整理すると
次式のような相関式として記述される。
f/2=(h/ρcpυθ)Pr^(2/3)(2d/βD)=0.125(Lυθρ/μ)^(-1/3) 式1.45
式1.9からfをPυに変換し、式1.45を用いてPυとυθの関係を得る。
υθ^(2/3)=0.95(ρ/μ)^(1/3)(d^3β^3L)^(1/12)(Pυμ/ρ^2)^(1/4) 式1.46
式1.46を式1.45に代入して変換すると次式となる。
h/ρcp={0.12(βD/2d)(dβ/L)^(1/4)}*(Pυμ/ρ^2)^(1/4)Pr^(-2/3) 式1.47
上式の係数部の｛ ｝内の値は0.2<d<D<0.9の広い範囲でd/Dに関係なく0.12一定となり、式1.42と式1.45は同一の相関式であると判断される。換言すれば境界層端の速度uDが式1.44をほぼ満足していることを意味している。