前回のワイルドフィールズおじかキャンプで昴くんが持ってきたＤｏｂｂｌｅ（ドブル）というカードゲーム、１枚のカードに８種類の絵が描いてあり、全部で５５枚、どの２枚のカードを選んでも共通する絵が１つだけ、という特徴を持っています。
基本的な遊び方は、２枚のカードを表向きにして相手より早く共通絵を見つけるというもの。
どの２枚のカードを選んでも共通する絵が１つだけ、ということは、万が一カードを失くしても相変わらず遊べる堅牢性（表現？）を持っています。
この性質を持ったカードの組を考えたとき、最初に思ったのは、フルコネクテッドなネットワークトポロジーなら行ける、でした。
しかし、この方法だと５５枚のカードにはそれぞれ５４種類の絵が描かれてしまいます（共通する絵がひとつだけなのは保証されてはいます）。
次第に全体のカード枚数を決めてから共通絵がひとつだけになるように対角線を引くという方法は無理だと思うようになったので、１枚のカードに描かれる絵の数に着目して、そのときの最大全体カード数を求めること考え始めました。
１枚のカードに２種類の絵が描かれる場合。
Ａ，Ｂ，Ｃと言う絵があるとして、（Ｂ，Ｃ）、（Ａ，Ｃ）、（Ａ，Ｂ）の３枚が限界です。２種類の絵があるカード（Ｃ，Ｄ）を新たに加えようとしても、カード（Ａ，Ｂ）と共通絵がひとつもなくなってしまうので加えることができません。
Ｄ列の数字は、絵があることを１、無いことを０とした２進数を１０進数に置き換えたものでプログラム上での表現です。
１枚あたり２つ絵の場合、カード全体上限数は３枚で、これはフルコネクトのネットワークと同じ結果ですが、１枚あたり３つ絵になると事情が異なってきます。
１枚のカードに３種類の絵が描かれる場合。
多角形の対角線で理解したときは４枚が上限ですが、同じ絵が３回使われるので最早対角線での理解は不可能です。７枚が上限となります。この表のとおりに、好きな写真７枚を選んで１カードに３種類ずつ７枚印刷してオリジナルドブルを作ることもできます。
このように、１枚のカードにｎ種類の絵が描かれる(n kpc = kinds per card)の全体上限数Ｓは、S=n^2 - n + 1 （ただし n > 1）であらわされるようです。
4 kpc のとき、１３枚。絵の種類も１３種。
5 kpc のとき、２１枚。絵の種類も２１種。
実際の組み合わせを求めるためにプログラムを書きましたが、6 kpc 以上の場合、うまく組み合わせを見つけることができませんでした（５ kpc までは見つけられた）。他の人のブログを検索して、組み合わせの導出方法を書かれている方がいたので手動で解いてみました。予想はしていましたが群論系の数学がバックについていました。
6 kpc のとき、6^2-6+1=３１枚。絵の種類も３１種。
３１ビットで表すことができる３１個の数が、この組み合わせならどの２つのＡＮＤ（論理積）を取っても１ビット共通になる。
具体例：電卓で１４行目286263428と２５行目84050192のＡＮＤを取ると16777216＝２＾24
8 kpc の場合は、8^2 - 8 + 1 = ５７枚、絵の種類も５７種になりますが、ドブルは何等かの理由で５５枚５７種です。
上手に絵の組み合わせを考えればあと２枚追加できるようになっていて、実際にその２枚を求めた方のブログも読みました。
全部は図示しませんが、この写真内の６枚中どの２枚を選んでも共通の絵が１つだけあります。
不思議で面白いカード、ドブルでした。