頭の体操２ －解答編

頭の体操２　の解答編です。

問題：
図の大円、小円、直線、の３つすべてに接する円をすべて書きなさい。

書籍で見て、全部で2個描けると思い込み、答えを見たら６つありました；；
しかしうちに帰ってきてからよく考えると７個目８個目が描けるのではないかと思い始めました。

２円が同じ大きさで直線と平行に並んでいるとき、答えとなる円は６つしか描けません。
なので書籍は最低限となる個数６つを解答にあげたのかもしれません。

２円の大きさが異なるという前提で考えると最低７つ描くことができます。
２円の接線（全部で４本引けます）のうちひとつが直線と平行になる条件のとき、その接線に沿った円は一般に直線と接することができません（直線までの距離を調節すれば特別に可能）。

上記以外の条件で、すなわち２円の大きさが異なり、４本の接線がどれも直線と平行ではないとき、８つ解答となる円が描けます。
出題の図は８つ描けるパターンです。

２円が外接→赤。
２円が内接→緑。
小円が内接、大円が外接→青。
小円が外接、大円が内接→橙。
それぞれに２次方程式が立ち、解答円の中心と半径が各々２つ求められるので全部で８つ、が解答となります。

２円が近くて直線に垂直に近い形で並んでいる場合などで直線に接する円があるのか頭を悩ませてしまいましたが、結局、代数幾何の力を借りて解いてみて納得しました。
一部の円の半径がとてつもなく大きく、ペイントなどでは描けないので解を求めてからTclで作図しました。