【算数典型問題連載】第2回 §1-2 整数の性質約数の個数①

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　昨日の記事を受けまして、今回より中学受験の算数の典型問題の解説をしていきます。はじめは『整数の性質』についてになります。この単元は難関校では好んで毎年出題されている必須単元となります。ですから、今の時期から典型問題をしっかりと定着さておき、過去問演習に備えることが大切になります。その上、入試ではこの整数の性質＝数論問題が合否を分ける場合もあり軽視の出来ない単元になります。今回は、表題の通り『約数の個数』について扱います。全部で２回構成となっており、今回はその１回目の内容になります。

　問題は私が日頃より用いている典型問題のプリントからの抜粋になります。例題部分だけになりますので、定着をさせるための類題部分の掲載はしておりません。ですから、これから掲載する問題だけを解けたとしても完璧とは言えないことをはじめに断っておきます。

　前回の記事はこちらより ⇒ §1-1 整数の性質約数・倍数の問題

はじめに(簡単に自己紹介)

　はじめましての方は閲覧ありがとうございます。中学入試理系の達人と申します。中学受験と銘打っておりますが、高校受験、大学受験(医学部)にも最難関校への指導実績が御座います。家庭教師として独立する前は大手進学塾にて、20年以上の指導経験が御座います。元大手進学塾では、基幹校舎や教務部などに在籍しており、志望校別コースの科目責任者も務めておりました。テキスト作成や小テスト作成、志望校別模試作成、過去問オリジナル解説などの作成も行っており、慣れております。

　また、私の著書の『語りかける中学受験算数超難関校対策集平面図形編市原秀夫著(名前はペンネームになります)』が全国書店にて発売中です。難易度は比較的高めの難関校向けの問題集となっており、家庭教師や集団授業を行う際、生徒さんに向けて語りかけるように問題を解説しています。難関校向けとありますが、あらゆる受験生が知っておかなければならない考え方や問題への切り込み方なども掲載しておりますので、全ての受験生に対応できるものと確信しております。書店でお見かけの際は手に取られてみて下さい。

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今回のテーマ §1-2 整数の性質約数の個数①

例題

例題解説とコメント

　以下、各問題に対して注意点やコメントを述べていきます。

例題１

　いきなり問題の解説に入っても良いのですが、この分野は理解していない受験生が非常に多い上に抽象的な考え方がメインになりこともあり、始めに導入を入れてあります。

　例えば、24の約数の個数と総和について説明していますが、約数を形成する数は24を素因数分解した結果から、2は最大でも3個まで、3は最大でも1個までしか持ちることが出来ません。その組み合わせを考えると、2は用いない場合を含めて4通り、同様にして3は2通りとなります。その積を求めれば約数の個数を求められます。それをより細かく見たものが右側の面積図になります。この面積図のマス目の数が約数の個数、面積が約数の総和になるわけです。本来は数学Aでの学習内容になりますが、中学受験では容赦なく出題されます。いつもいっていますが、

公式を覚えるだけでは意味がありません

その公式の持つ本来の意味を理解しなければ、発展させた形を解くことは不可能になるのはいうまでもありません。(１)、(２)はそのまま公式を用いるだけですから割愛します。

　(３)、(４)は偶数の約数の個数と聞かれています。これが場合の数のときは余事象一択になるでしょうが、偶数の約数についてはその限りではありません。何故なら、偶数の素数は2しかありません。ですから、偶数の約数を作るためには必ず2は用いないといけないことに気付いてしまえば、2の使い方が3通りとなります。3や5につては特に制限がありませんのでいつも通りで構いません。

例題２

　この問題は毎年形を変えてどこかの学校で出題されています。難関校受験生は必須事項になります。やってはいけないのは数えることです。数えれば確かに答えは出せますが道のりが遠すぎます。そこで、先程の素因数分解を用いた形を利用していくわけです。

　(１)は必須知識といってもいい問題です。約数3個の数は、素因数分解するとA×Aで表すことが出来ます(Aは素数：解説では累乗の形で表しています)。その上で小さいものから、素数を当てはめて求めていきます。また、

約数3個の数＝素数の平方数

は覚えておくと非常に便利です。合わせて、約数が奇数個のものは平方数になることも知っておくと便利です。

　(２)についても、約数4個の場合についても、素因数分解するとA×A×A、もしくはA×Bと表すことができ、後は(１)と同様に素数を当てはめて小さいものから順に探していきます。間違えやすいのは、3、5、7が絡んだ積を忘れることが多いです。慎重に解いていきたい問題であると言えます。

　また、今回は掲載を見送りましたが、本来のプリントには約数6個や8個の場合についての問題も掲載しています。これらの答えが出せるならば実力があると言えるでしょう。

　最後に、この連載では入試の典型問題とその解法を紹介していくものになります。引用は私が普段使用しているプリントの例題部分からのものですがここで紹介する問題を解けるようにしただけでは難関校には合格することは困難という理由から公開をすることにしました。全てを公開することはありません。何故なら、定着をさせるための類題部分はカットしてあるからです。

　基本的に時間のある時に更新しますが、受験生のためにも早く公開できるように努めます。公開単元は以下の通りになります。

　現在、新学年の募集＆学習相談も随時募集しています。

　お気軽にお問合せ下さい。

　次回内容 ☞ §1-3 整数の性質：約数の個数②

著者紹介★

　性別は男。あらゆる受験の精通するプロ家庭教師(算数・数学・理科)。大手進学塾時代は高い合格率を残しておりその合格率は８５%を超える高い合格率を残してきた。合格率が全校舎１位になることもあり、講師アンケートにおいても1位を獲得するなど高い評価を得る。その傍らで、志望校別コースの算数科目責任者を歴任し、テキスト作成や模試作成なども行っていた。算数・理科において高い指導力を持っている。

　家庭教師においては90%以上の高い志望校合格率を誇り、どこの学校にも対応出来る講師。難関校入試に特に強く筑駒、開成、麻布、駒東、聖光、栄光、桜蔭、女子学院、雙葉、フェリスなどに関しては極めて高い成績を残している。勿論、それ以外の学校の対策も万全に行う自信と経験を持っている。

　プロフィールなどの詳細はお問合せ頂ければ差し上げることが出来ます。宜しくお願いします。

趣味：美食巡り、旅行（るるぶだけは買ってあります）、ゲーム（勉強とゲームは同じです） etc

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