Ｄの三角形で長さがbより大きい辺を持つものがなくなったら長さがbより小さい辺を同様の操作ですべてaに変えていく
この過程でさらに全三角形の面積の合計は減少する
三角形の個数そのものはもちろん変化しない
最後はDに属する三角形は3辺が
(a,a,a),(a,a,b)(a,b,b),(b,b,b)
の4種類だけになる。これら4種類の三角形の面積をそれぞれα、β、γ、δとする
球面三角形の面積は球面角をそれぞれA,B,CとすればA+B+C-πと表せるので
α≒0.5513,β≒0.667,γ≒0.8923,δ≒1.1948
2n-4個の三角形の面積の合計は単位球面の表面積4πより小さいから
2n-4<4π/α≒22.8
ゆえn≦13
n=13のとき三角形の合計は22個なので
β、γ、δの三角形の個数をn_β, n_γ,n_δ とすると
12.556≒4π>(22-n_β-n_γ-n_δ)*α+n_β*β+n_γ*γ+n_δ*δ
=22α+n_β(β-α)+n_γ(γ-α)+n_δ(δ-α)
ゆえ
0.438>0.1157n_β+0.341n_γ+0.6435n_δ
不等式の関係からn_δ=0
面積γの三角形があれば長さbの辺が他に少なくとも2つはあるから右辺の値は0.1157*2+0.341=0.5724以上となりこれも不可能
ゆえn_β=0。またn_βは操作3により対角線bに縮められた三角形のペアが存在するので偶数でなければならないので以下の２通り考えられる
１ 面積αの三角形が22個
2 面積αの三角形20個、面積βの三角形が2個
従ってもとの三角形の頂点集合(2n-4個)とする球面の三角形分割で、長さがb以上の辺はまったくないか、ちょうど
1本あるかのいずれかである。この球面の三角形分割、長さがb以上の辺を消し去って得られる球面分割をGとすると
補題3 よりGのd（上記:頂点から出る辺の本数）は5以下
もともと長さがb以上の辺が1本もない場合は、この三角形分割の辺数は(2*22)/2=33であるから、dの平均は66/13>5となりこれは矛盾
また長さがb以上の辺を1本消す場合は、三角形の面が20個,四角形の面が1個生ずる。
ところが補題5,6 よりこのような球面図形は存在しない。つまりn=13とするといずれの場合も矛盾
したがってn≦12
単位球面に内接する正20面体をとり、その稜を球の中心からの射影で球面上に写すと球の表面は20個の正三角形に分割される
このとき１個の正三角形の面積は4π/20≒0.6283でαより大きい
ゆえ頂点の距離はπ/3より大きいから単位球面に12個の単位球面が接することが可能
