ポーランド数学オリンピック
問題
空間内に点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄを頂点とする一辺1の正四面体Kがある。
その内部に点PをとりPから各頂点への距離d=Σ{I=A,B,C,D}PIと定義する。
dの最大値を求めよ。
次の補題を考える
一辺が1の正三角形内部に点PをとりPから各頂点までの距離を最大にするときのPの位置はある頂点になる。
三角形PBC(∠BPC=2θとする)に対して外接円を描き、BCに関してPと反対側にQB=QC(=a)となるようにPをとる.a=1/(2sin(π/2-θ))=1/(2cosθ)
トレミーの定理より(PA+PB)a=QPだからPA+PB=QP/a=2QPcosθ (π/3≦θ≦π)
結局PA+PB+PC=PA+2QPcosθ≦1+2QPcosθ≦1+2*1/2=1+1=2
このとき等号が成立するのはP=Aのとき
平面BCDと平行になるようにKを切断したときの辺AB,AC,AD上の点をB',C',D'とする。
AP≦AB'
BP≦BB'+B'P
CP≦CC'+C'P
DP≦DD'+D'P
補題よりBB'+C'P+D'P≦C'B'+D'B'
以上からd≦AB'+C'B'+D'B'≦3
等号が成立するのはP=Aのとき