こんにちは！じんです！
今回の内容はかなり実践的な
お話になると思います。
ですので、
片手間に見るよりは、
じっくりと見れるところで
見て戴く方がよいです。
今回のテーマは
「数学の問題への取り組み方」
とその取り組み方を元にした
「数学の勉強法」
の二つです。
これに当たって
難関大学を目指す上で
合格点を取るために
解けるようになっておきたいレベル
すなわち
「入試標準レベル」
の問題を１つ扱います。
入試標準とは
難関大の入試で
得点すべき問題
という感じで
捉えれてもらえれば
よいです。
今は解けなくても
変な心配はしなくて
大丈夫です。
これぐらいは
きちんと解けるように
なっておきたいという
いわば目標
みたいなものです。
まずは
自分の力で
次の問題を
考えてみてください。
解けなくても
落ち込まなくて
大丈夫です。
ここで色々
得ていってくださいね！
出題範囲は数Ⅱまでの内容です。
解けそうになくても5～10分ぐらいは
考えてみてくださいね。
以前お話しした複二次式が
出てくる問題をあえて
選んでみました。
どうでしょうか。
それでは詳しく
解説していきたいと
思います。
そしてその後に
数学の勉強法について
お話しします。
少ししんどいかも
しれませんが
必ず得るものがあります。
ついてきてください。
それでは始めます。
まず第一に、
誰もが無意識でも
やっている事でしょうが
改めて意識的に
①問題のテーマ
を確実に把握しましょう。
今回はsとtという二つの実数が動くときの
xの四次方程式の解の範囲を
求めるということですね。
ざっくり言えば
方程式の解に関する問題
だとわかりますね。
つまり使う解法は
最終的に方程式の解に
関するものです。
そして次ですが、
②与えられた条件を
漏れなくチェックする。
これは問題の条件が多いときは
条件のチェック漏れによって
解答が上手くいかないことが
あったりするので、
結構大事です。
今回は
「s≧0、ｔ≧0で
s^2+t^2=1」が条件ですね。
ここからは分野ごとに
多少変わってくるのですが、
③基本的には条件や
与えられた式に学んだ解法を
適宜使用していくことになります。
まず一つ目に使う解法ですが、
●与えられた条件と式をみて
sとtが対称式である
ということに気づかなければ
なりません。
対称式の解法（式操作）
「s+tとstを別の文字で置く」
を適用します。
ちなみに関数（方程式）に
関する式操作は全部で三つ
・「対称式」
・「同次式」
・「相反方程式」
があります。
これは覚えておきましょう。
ここで使った
対称式の式操作の意味は
「等式がある＝文字を一個減らす」
という原則を行うためです。
sとtの対称式の扱いと
s^2+t^2＝１という等式から
文字をuとvと置きましたが
uだけにすることができました。
(文字を一個減らせた）
次、忘れがちの
人が多いのですが、
「別の文字で置いた場合
その文字の取りうる範囲を求める」
という原則のもと、
uの取りうる範囲を求めましょう
uに関して持っている式は
⑴s+t=u
⑵s^2+t^2=1
⑶s≧0 , t≧0
ですね。
sとtという文字のままだと
ややこしく感じるかもしれませんが
それぞれx,yと
置き換えて考えてみると
いいでしょう。
すると、
●直線⑴と円⑵が⑶の条件で
交点を持つuの範囲を求めれば
良いことになります。
つまり切片のuがどのような範囲であれば
直線が円と第１象限で交わるのか
を考えるわけですね
線形計画法と
言われたりする
方法です。
これは確か
数Ⅱの領域の分野の
範囲だったかと思います。
図のようにt=-s+1が
uの最小値となることは
すぐにわかると思います。
図で？としている
円と直線が接する場合のuを
求めたいのですが、
使える解法は２つあります
円と直線が接する条件
①点(円の中心)と直線の距離 ＝ 半径
②円と直線の式からyを消去して
（判別式）＝０
今回は二つ目でやってみましょう。
（二つ目を選んだ理由は
計算が楽そうという
ただそれだけですので
深い意味はありません。）
対称式にかかわる操作は
以上で終わりです。
次にようやく
方程式の解の範囲を
探っていくことになるのですが
4次方程式は
わからないですよね。
私たちが解けるのは特殊な場合を除き
せいぜい3次方程式までです。
ですので
もちろん入試に出てくるのは
特殊な場合です。
ここでは複二次式ですね
複二次式の解き方は
前言った2通りありますが、
今回はx^2=Xとおく方を
使いましょう。
すると下図のように
二次方程式まで帰着され、
問題も次のように
言い換えることができますね。
この時に気づけますでしょうか
方程式の解を求めるのに
変数が絡んでくるときは
数Ⅱの図形と方程式の
通過領域の分野で学ぶ
「変数の方を方程式とみなす」
方法です。
知らない人のためにやり方を説明すると
「求めたい変数を固定する」
(ここではX)
↓
「動く変数についての方程式（関数）とみる」
（ここではu）
↓
「動く変数の範囲を満たすような条件を求める」
という風になります。
チャート式などにも
似たような方法のやり方が
載っています。
それを用いると
実際に解答はこうなります。
もう一度解く際の流れを
振り返ってみますね。
与えられた条件、式の特徴から
「対称式」と判断し対称式の
解法を用いる
（文字で置いたので
その範囲を求める）
↓
与えられた式から
「複二次式」と判断し
複二次式の解法を用いる
↓
「変数uに関する方程式とみなして
解く」解法を用いる
式の操作が多いだけで
構造は単純です。
今回はそれぞれ
細かいところで
図形と方程式の分野が
絡んできたり
解法をいくつも使う
という構造が
問題を難しくしている
わけなんですね。
難しいかもしれませんが、
これは全く難問という
レベルではありません。
こういった解法を
当てはめていけば解ける
タイプの問題は
必ず取れるようになりましょう。
このレベルが解ける
ようになるのを目標として
頑張っていきましょう！！
ではこういった問題を
解けるようにしていくには
どう勉強すればよいのか
以前に問題を解く際には
初手が大事といったように
まず何をするのかが
非常に大事になります。
ここでつまづくと
全く手も足も出ないので
まあ当然なのですが、
こういった演習形式で
勉強する際には
①与えられた条件、式から
出来ることを引っ張り出して
使えそうなものを判断していく
というのが大事で、
そこから式変形なり
していくわけですが
②そこからその都度
細かいところで
「今は何を求めるのか」
「そのために何の解法を使うのか」
を整理して順番にやっていく
ことになります。
途中で何をしているのか
分からなくならないためにも
必ず整理して順番にやりましょう。
このように
できるようになるために
普段の勉強の仕方で意識
するべき点は
・まずは解法のストックを作ること
（解法暗記）
・求めるものに合った解法を
さっと引き出せるようになること
（さきほどの円と直線の接する条件や、
最後の解の配置のときのように）
・与えられた式や条件の特徴を掴んで、
何をすればいいかの判断が
できるようになること
（上でいえば対称式や複二次式です。
他の分野でいえば整数問題、図形問題とかが
特に顕著ですね）
このことを意識して
取り組んでいきましょう！
新しいことはありません。
数学は持っている知識を
いかに当てはめるかです。
持っている知識が
不足している人は
まずは解法暗記をしていきましょう！
ちなみに出典は
東大の少し古い過去問でした。
追記
勘の良い方は
気づいたかもしれませんが
「別解」というものは
解き方が複数あるもので
何を選択したか、に過ぎません。
（稀に凄い思い付きのような
真似できない解答もありますが）
きちんと解法ストックと引き出しが
できれば、別解を見ても
こんな解き方あったんだ
と驚くこともあまりありません。
ぜひ別解も自分で作れるぐらい
頑張って解法ストック、引き出しから
始めて頑張っていきましょう！