この記事を書いているのが ２０２１年 ２月２３日の深夜 ２７時です (^ω^)
いよいよ ２月２５日・２６日が東大二次試験の本番になります！
２０２０年の３月からつい昨日までの１０か月半の間に、東大の数学や物理に
ターゲットを絞った練習問題計１２０問～１５０問ぐらいの演習授業を行ってきました。
そのうち約８０問が当塾の今年の新作、１５問ほどはこのブログに掲載した問題、
残りは定番の問題や、他大学の過去問、過去にあった問題の再編集などです。
今年の新作及び特に重要な問題はプリントを作成しました。
問題プリントの画像６７枚を今日一気に掲載しようと思います！！
【 シリーズ１ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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◆①1/cos(＾n)x の積分における、tanｘ＝ｔ 置換と tan(x/2)=t 置換 及び
cosx/cosx をかけてから sinx=t の置換、 漸化式で解く方法の４種類を
比較して、どの次数の時にどの方法が優れているかを検証する
②複素平面内の２定点を用いた直線の方程式を、他の２点を用いた
方程式に変形する問題
③抵抗を樹形図状の直並列回路につないだ時の無限極限の合成抵抗
④複数電源の抵抗回路を 単一電源による抵抗回路の重ねあわせで求める
◆⑤充電済みのコンデンサを挿入する回路において、予備充電された電荷を
その電荷値に相当する虚電源と捉えて解く考え方
⑥「ツイてない」ことの定義を反復試行における確率で表現し、その極限値の
式の中に自然対数の定義式を発見する問題
⑦1/2次の無理関数の漸近線を求める問題
◆⑧1/n次の無理関数の漸近線を求める問題
【 シリーズ２ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①極方程式で表された関数をｘ－ｙの式に戻す演習
②空間内の円錐をななめの平面でカットし、切り口の楕円を
平面に投影する問題
③円錐を母線の周りに回転させた回転体の体積を求める
④ｎ人の中に特定のＤ人が含まれており、ｎＣｒを計算するときにＤ人中
何人がｒ人に含まれるかで場合分けをして、総計を出す問題
⑤カージオイドを極方程式で表した時の極の位置と、方程式の成り立ちを
幾何的に理解する。その後、極関数の積分により閉領域の面積を
簡単に求める。
◆⑥受験生には初見であろうラプラス変換の２例を提示して、ある変換結果
に対応する元の関数を推測させる問題
⑦完全に同じ長さにつくられた４脚のテーブルをいびつな床に置く。
テーブルを９０度回転する間に必ず４脚とも接地させられる証明。
⑧隣接４項間漸化式の解き方
【 シリーズ３ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①双曲線をハイパボリックで置換したときの、ｔ の値の幾何的な
意味をつきとめる問題
②回転体の体積問題 逆関数を求めることができないので、
バームクーヘン積分をしないと計算できない問題。
③軸ではない直線方向に積分を行う問題
④ＲＣ振動回路における、電流、電荷の式を微分方程式を用いて
しっかりと求める問題
⑤空中に物をぶら下げたクレーンを加速度運動させるときの方程式
⑥摩擦のない台座上にある、摩擦のない斜面を持つ物体の上を
小物体が滑り落ちるときの 個々の運動方程式 （ 定番演習 ）
⑦摩擦のない台座上にある箱の上に平面滑車がのっている問題
⑧２種類の媒質の直線状境界に平面波が突入したとき、ホイヘンス
の原理から、屈折波面を求める問題
【 シリーズ４ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①電界と磁界の両方をかけた空間内での荷電粒子の運動を
ｘ方向、ｙ方向とも微分方程式を立てて完全に式を求める
◆②有限の長さのレールを持つレールガンを作り、速度、電流、
エネルギーに関しての具体的な計算を行う
③導入として回転の一次変換を求めさせ、それを用いて軸線が
傾いている双曲線を回転させて標準形とし、その結果から
焦点の値を求める
④斜交軸変換を提示する 円を斜交軸変換した楕円の
計量を行う
⑤３次元空間内における直交座標の変換と再構成
⑥４次元空間を４つの三角波の直交基底に変換し、再構成する
⑦８次元空間を８つのアダマール変換基底に変換し、再構成する
◆⑧４次元空間を４つの離散コサイン変換基底に変換し再構成する
【 シリーズ５ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①不定方程式の整数解を求める問題で、少しの工夫を要するもの
②一次変換による点列の写像において、行列の固有ベクトル、固有値を
求めることにより、ｎ番目の写像の一般項を得る
③少し変わった線形計画法の問題 （内容としては易しい）
④二元二次の不定方程式の整数解を求める問題。
これは塾オリジナルではなく、出典あり。再構成して作りました。
⑤二次元のコーナーキューブによる反射光の問題
◆⑥三次元のコーナーキューブにおける反射光の到達位置の考察
⑦積分方向に対して、垂直ではない傾きの直線で切り取る積分
⑧任意のθを設定し、積分方向に対してθの傾きの直線で
切り取っていく積分の演習問題
【 シリーズ６ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①積分方向に対して４５°の傾きで図形を切って積分するときに
計算が楽になることを確認し、回転した楕円の面積を計算する
②空間内の積分で、積分方向に対して直角ではない傾いた面で
切っていき、体積を求める問題
◆③積分方向に対して、切り口の角度を変化させながら積分する
この方法を用いてサイクロイドの面積を簡単に求める
④③の手法を用い、見たことのない図形の計量をおこなう演習１
⑤③の手法を用い、見たことのない図形の計量をおこなう演習１
⑥微分方程式を使う文章題 これはモノグラフが出典です
⑦複数のサイコロを振る時に出た目の最大数が５である確率を
サイコロの個数の式で表し、最大確率を与えるｎを求める
◆⑧地上高Ｈからみることのできる球面上の面積を求め、
Ｈの関数としてグラフを描画する
【 シリーズ７ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①円周の上にある関数を、動径から突き出した線のなぞる面積で計量
②①の手法を用いて、外トロコイド（r' = r/2 )の面積を簡単に算出する
③①の手法を用いて、アステロイドの面積を簡単に算出する
④①の手法を用いて、カージオイドの面積を簡単に算出する
⑤任意のベクトルを行列の二つの固有ベクトルの一次結合で表現し
ｎ回写像後のベクトルを求める
◆⑥二次の正方行列の固有値が重解になる時、固有ベクトルの挙動と
軸方向の単位ベクトルの挙動の合成として変換をとらえ、
漸化式により一般項を得る問題
⑦よくある問題の焼き直し 三角錐をコサイン形に丸めた図形を
円柱の型抜きでえぐりとったときの体積を求める
積分計算が可能になるように関数の形を工夫した♪
◆⑧複素平面上で２種類の角度を用いて点を回転していく
偏角が１８０度の倍数に一致する、イレギュラーな点列の法則を
見つけ無限級数和を求める問題
【 シリーズ８ 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の８個の問題に←の符番をします
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①トイレットペーパーの芯を斜めに切って分解し、異なる方向で
組み立てることで完成するもうひとつの立体を計量する
二つの立体の特定の比を与える切り口角度を求める
◆②球の表面に中心を持つ半分の大きさの球がある その球の表面
にも同様に小さい球がついていて、これらの無限和体積を求める
③水滴内で２度の屈折と一度の反射が起きる、虹の主虹における
入射光角度と反射光の強度の関係を考察する
◆④１８度、３６度に対応する三角比の値を事前に求め、それらを用いて
正２０面体及び正１２面体の内接球、外接球の半径を求める
◆⑤Li AlH4 の還元作用と他物質との反応性
⑥知られていない 三角関数の変換公式群
⑦２４度の三角比を求めて 正１５角形の面積を求める
⑧３重根号をはずして ２重根号に書き換えられ場合の 係数決定
【 シリーズ９ 】
①②③ 上の画像中の３個の問題に←の符番をします
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①ビリヤードで上下ｎ回、左右ｍ回のクッション後に的に当てるための
打ち出し方向の決定 ⇒ 変わった漸化式の問題になる
◆②双曲線における、「二つの焦点からの距離差が一定（2a) 」の条件を
幾何的に視覚的直観的に理解できる作図を考案した。この作図
条件を数式化変形することで双曲線の式を得る
③線分の長さの積分の基本と、パラメーター関数における面積計算を
丁寧に行わないと符号が反転するミスを犯すことへの警鐘
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※ 上の６７問中、作問者である私が「これは今年来るんじゃないか？」と
特に強く感じる問題に ◆ マークをつけておきました。
受験直前にこの記事を見てしまった方は、念のため目を通しておいた方が
良いかもしれませんよ (＾ω＾) ！
※掲載した全ての問題には丁寧な模範解答が本当はつけてありますｗｗｗ
どうしても解答が知りたい方は塾の方に希望をお知らせください♪
★今週の土曜日になれば、実際どの問題がＨＩＴしたか、かすったか、全て
判明するでしょう。 家の生徒さんのためにも、なるべく多くの問題に
ヒットしてもらいたいものです…
★東大入試終わった後で、当たった/ハズれたの検証記事を載せようと思いますｗ
おしまい