この記事を書いているのが 2021年 2月23日の深夜 27時です (^ω^)
いよいよ 2月25日・26日が東大二次試験の本番になります!
2020年の3月からつい昨日までの10か月半の間に、東大の数学や物理に
ターゲットを絞った練習問題計120問~150問ぐらいの演習授業を行ってきました。
そのうち約80問が当塾の今年の新作、15問ほどはこのブログに掲載した問題、
残りは定番の問題や、他大学の過去問、過去にあった問題の再編集などです。
今年の新作及び特に重要な問題はプリントを作成しました。
問題プリントの画像67枚を今日一気に掲載しようと思います!!
【 シリーズ1 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆①1/cos(^n)x の積分における、tanx=t 置換と tan(x/2)=t 置換 及び
cosx/cosx をかけてから sinx=t の置換、 漸化式で解く方法の4種類を
比較して、どの次数の時にどの方法が優れているかを検証する
②複素平面内の2定点を用いた直線の方程式を、他の2点を用いた
方程式に変形する問題
③抵抗を樹形図状の直並列回路につないだ時の無限極限の合成抵抗
④複数電源の抵抗回路を 単一電源による抵抗回路の重ねあわせで求める
◆⑤充電済みのコンデンサを挿入する回路において、予備充電された電荷を
その電荷値に相当する虚電源と捉えて解く考え方
⑥「ツイてない」ことの定義を反復試行における確率で表現し、その極限値の
式の中に自然対数の定義式を発見する問題
⑦1/2次の無理関数の漸近線を求める問題
◆⑧1/n次の無理関数の漸近線を求める問題
【 シリーズ2 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①極方程式で表された関数をx-yの式に戻す演習
②空間内の円錐をななめの平面でカットし、切り口の楕円を
平面に投影する問題
③円錐を母線の周りに回転させた回転体の体積を求める
④n人の中に特定のD人が含まれており、nCrを計算するときにD人中
何人がr人に含まれるかで場合分けをして、総計を出す問題
⑤カージオイドを極方程式で表した時の極の位置と、方程式の成り立ちを
幾何的に理解する。その後、極関数の積分により閉領域の面積を
簡単に求める。
◆⑥受験生には初見であろうラプラス変換の2例を提示して、ある変換結果
に対応する元の関数を推測させる問題
⑦完全に同じ長さにつくられた4脚のテーブルをいびつな床に置く。
テーブルを90度回転する間に必ず4脚とも接地させられる証明。
⑧隣接4項間漸化式の解き方
【 シリーズ3 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①双曲線をハイパボリックで置換したときの、t の値の幾何的な
意味をつきとめる問題
②回転体の体積問題 逆関数を求めることができないので、
バームクーヘン積分をしないと計算できない問題。
③軸ではない直線方向に積分を行う問題
④RC振動回路における、電流、電荷の式を微分方程式を用いて
しっかりと求める問題
⑤空中に物をぶら下げたクレーンを加速度運動させるときの方程式
⑥摩擦のない台座上にある、摩擦のない斜面を持つ物体の上を
小物体が滑り落ちるときの 個々の運動方程式 ( 定番演習 )
⑦摩擦のない台座上にある箱の上に平面滑車がのっている問題
⑧2種類の媒質の直線状境界に平面波が突入したとき、ホイヘンス
の原理から、屈折波面を求める問題
【 シリーズ4 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①電界と磁界の両方をかけた空間内での荷電粒子の運動を
x方向、y方向とも微分方程式を立てて完全に式を求める
◆②有限の長さのレールを持つレールガンを作り、速度、電流、
エネルギーに関しての具体的な計算を行う
③導入として回転の一次変換を求めさせ、それを用いて軸線が
傾いている双曲線を回転させて標準形とし、その結果から
焦点の値を求める
④斜交軸変換を提示する 円を斜交軸変換した楕円の
計量を行う
⑤3次元空間内における直交座標の変換と再構成
⑥4次元空間を4つの三角波の直交基底に変換し、再構成する
⑦8次元空間を8つのアダマール変換基底に変換し、再構成する
◆⑧4次元空間を4つの離散コサイン変換基底に変換し再構成する
【 シリーズ5 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①不定方程式の整数解を求める問題で、少しの工夫を要するもの
②一次変換による点列の写像において、行列の固有ベクトル、固有値を
求めることにより、n番目の写像の一般項を得る
③少し変わった線形計画法の問題 (内容としては易しい)
④二元二次の不定方程式の整数解を求める問題。
これは塾オリジナルではなく、出典あり。再構成して作りました。
⑤二次元のコーナーキューブによる反射光の問題
◆⑥三次元のコーナーキューブにおける反射光の到達位置の考察
⑦積分方向に対して、垂直ではない傾きの直線で切り取る積分
⑧任意のθを設定し、積分方向に対してθの傾きの直線で
切り取っていく積分の演習問題
【 シリーズ6 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①積分方向に対して45°の傾きで図形を切って積分するときに
計算が楽になることを確認し、回転した楕円の面積を計算する
②空間内の積分で、積分方向に対して直角ではない傾いた面で
切っていき、体積を求める問題
◆③積分方向に対して、切り口の角度を変化させながら積分する
この方法を用いてサイクロイドの面積を簡単に求める
④③の手法を用い、見たことのない図形の計量をおこなう演習1
⑤③の手法を用い、見たことのない図形の計量をおこなう演習1
⑥微分方程式を使う文章題 これはモノグラフが出典です
⑦複数のサイコロを振る時に出た目の最大数が5である確率を
サイコロの個数の式で表し、最大確率を与えるnを求める
◆⑧地上高Hからみることのできる球面上の面積を求め、
Hの関数としてグラフを描画する
【 シリーズ7 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①円周の上にある関数を、動径から突き出した線のなぞる面積で計量
②①の手法を用いて、外トロコイド(r' = r/2 )の面積を簡単に算出する
③①の手法を用いて、アステロイドの面積を簡単に算出する
④①の手法を用いて、カージオイドの面積を簡単に算出する
⑤任意のベクトルを行列の二つの固有ベクトルの一次結合で表現し
n回写像後のベクトルを求める
◆⑥二次の正方行列の固有値が重解になる時、固有ベクトルの挙動と
軸方向の単位ベクトルの挙動の合成として変換をとらえ、
漸化式により一般項を得る問題
⑦よくある問題の焼き直し 三角錐をコサイン形に丸めた図形を
円柱の型抜きでえぐりとったときの体積を求める
積分計算が可能になるように関数の形を工夫した♪
◆⑧複素平面上で2種類の角度を用いて点を回転していく
偏角が180度の倍数に一致する、イレギュラーな点列の法則を
見つけ無限級数和を求める問題
【 シリーズ8 】
①②③④
⑤⑥⑦⑧ 上の画像中の8個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①トイレットペーパーの芯を斜めに切って分解し、異なる方向で
組み立てることで完成するもうひとつの立体を計量する
二つの立体の特定の比を与える切り口角度を求める
◆②球の表面に中心を持つ半分の大きさの球がある その球の表面
にも同様に小さい球がついていて、これらの無限和体積を求める
③水滴内で2度の屈折と一度の反射が起きる、虹の主虹における
入射光角度と反射光の強度の関係を考察する
◆④18度、36度に対応する三角比の値を事前に求め、それらを用いて
正20面体及び正12面体の内接球、外接球の半径を求める
◆⑤Li AlH4 の還元作用と他物質との反応性
⑥知られていない 三角関数の変換公式群
⑦24度の三角比を求めて 正15角形の面積を求める
⑧3重根号をはずして 2重根号に書き換えられ場合の 係数決定
【 シリーズ9 】
①②③ 上の画像中の3個の問題に←の符番をします
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
①ビリヤードで上下n回、左右m回のクッション後に的に当てるための
打ち出し方向の決定 ⇒ 変わった漸化式の問題になる
◆②双曲線における、「二つの焦点からの距離差が一定(2a) 」の条件を
幾何的に視覚的直観的に理解できる作図を考案した。この作図
条件を数式化変形することで双曲線の式を得る
③線分の長さの積分の基本と、パラメーター関数における面積計算を
丁寧に行わないと符号が反転するミスを犯すことへの警鐘
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
※ 上の67問中、作問者である私が「これは今年来るんじゃないか?」と
特に強く感じる問題に ◆ マークをつけておきました。
受験直前にこの記事を見てしまった方は、念のため目を通しておいた方が
良いかもしれませんよ (^ω^) !
※掲載した全ての問題には丁寧な模範解答が本当はつけてありますwww
どうしても解答が知りたい方は塾の方に希望をお知らせください♪
★今週の土曜日になれば、実際どの問題がHITしたか、かすったか、全て
判明するでしょう。 家の生徒さんのためにも、なるべく多くの問題に
ヒットしてもらいたいものです…
★東大入試終わった後で、当たった/ハズれたの検証記事を載せようと思いますw
おしまい