学会を訪ねて

日曜研究家を称する私の趣味は学会に行くことである．私の友人は今，世界中にちらばってしまっていて，学会に行くのが一番簡単に会えるからである．また，学会に行くといろんな新しい考えに触れることができてとても刺激になる．

今年は Eurographics 2010, HPG 2010, そして SGP 2010 という学会をめぐってきた．しかし，全て私費なので，なかなか大変である．以下は SGP の学会会場前とその町 (Lyon) のひとこまである．今回フランスでは SMI, Curve andSurface などもあり，検討したが，確実に友人が来るとわかっていたのが SGPだけだったのでこれを選択した．

ただ，学会に行ってつくづく思うのは，自分が cool ではなくなったこと．いや，以前から cool ではないというのはあったかもしれないが，少なくとも努力はしていた．今では単に参加するだけで新しい考えを示すことはない．これではいったい生きている意味があるのかどうか，まったく寂しいことである．しかし，何かできるかもしれない．少なくとも何かすべきだなあ．

不必要な複雑性

これは Nancy (France) の友達の家に遊びに行った時にとった彼の家のトイレである．ヒータの入力と出力，そしてトイレの入力と出力，あとは洗面所の入力と出力があるのだが，水道の入力も下水への出力も共有されているはずだ．しかし，なぜかこの複雑さがある．フランスではよくわからない複雑さを時々見かけると思うのは気のせいなのだろうか．いや，イギリスの鉄道も複雑だったが．

2.5 LU decomposition (3) なぜややこしい LU分解をするのか

ようやく LU 分解の話が一区切りつく．線形代数に興味のない方は読み飛して下さい．

これまでの二回にわたって，LU 分解は実は elimination (消去法)そのものであるが，elimination 行列の逆行列を保存するものであることを見た．別に答えはelimination でわかるのに，どうして余計なものを保存するのであろうか．私の理解する限りではこれには2つの主な理由がある．

1つは，LとUの形，三角行列は back substitution で簡単に解がわかるというものである．たとえば，

を解きたいとする．これは簡単である．連立一次方程式の形にしてみると，

まず，式 12より x=5 で既に xがわかる．式 13 は x + y = 2であるが，x=5 なので，y=-3 である．式 14は x + 2y + z = 2 であり，5 - 6 + z = 2 なので，z=3 である．代入していくだけで，文字を消去する必要がない．これはしかしあたりまえである．消去法を実行したのだから文字は消去されているのだ．三角行列はこのように解きやすい．

2つめは，Elimination では解を求めるには Augumented matrix を使ったことを思いだそう．LU 分解ではそれはない．行列そのものしかない．なので，いろんな条件に対して一度計算すればあとは，back substitution で全てが求まる．


つまり，LU 分解する理由は，LとUが三角行列で解きやすいこと，行列一つにつき，分解を一度行えば様々な右辺に対して毎回分解することなしに解けるという二つの利点があると思う．消去法ではシステムが同じでも右辺が異なる度に毎回最初からやり直さなくてはならない．

では実際に LU 分解で System を解いてみよう．基本方針は，

例として以下のシステムを考える．


(これは Gilbert Strang の本の p.103 の例．)

LU 分解は既に Elimination によってなされていたので，三角行列を二回解けばよい．三角行列が簡単に解けることは既に見てきたとおり．これが LU 分解の利点である．