Veach 論文に関する私的補足(12) p.71

2.8.2 Regression methods

2.8.2 の式(2.33) は最初謎であった．専門家に聞くとあんまり重要でないから，それよりももっと先を読むべきという答えであった．だからあまりこの話は気にしなくてもいいかもしれない．

ヒントは Equation (2.33) が standard minimum variance unbiased linear estimator of desired mean I とある文にある．これはガウスの最小二乗法のことを言っている．Veach の論文はほとんどの部分が self contain でとてもわかりやすいのだが，個人的にはここでもう一声欲しかった．それは，
式(1)である．

これは各 final estimation F が sample の平均 \hat{I} になるという意味だから，Veach はあまりにあたりまえすぎて書く必要がないと思ったのかもしれない．しかし，この式は私のような素人には式(2.33)を理解するには有用である．式(1)から式(2.33)は導出できるので，やってみよう．

まず，式(1)には通常解がない．Estimator が常にサンプル平均と同じ解を出すことになってしまう．ここで Veach の記法に添って，X^*をX の transpose とし，最小二乗法を適用する．すると式(2)のようになる．

しかしこれはかなりいいかげんである．Veach の論文では，これを洗練した方法として，variance covariance matrix \hat{V}を重みとして使うことを言っている．すると，式(3) が基本の式である．重みが inverse なのは，variance を小さくしたいのでそのinverse を使ったのだろう．あとは最小二乗法で，
式 (4) を得る．この式(4)が式(2.33)と等しい．こうして見るとこの式は自然なことがわかる．

真のプロフェッショナル達

昨日は目立たないが，ちゃんとしたプロがいるんだという記事を読んだ．一枚の伝票から，不正を見抜く．すごい．

http://www.asahi.com/national/update/0726/TKY201007260261.html

この記事がその通りであれば，本当にすばらしい．この農水省職員さんのプロ意識に感謝します．また，それが上に伝わって好評されたのも多数の方々の英断があったことでしょう．このようなことが評価されることを祈ります．

また昨日は麻薬王の息子さんが和解に向けてがんばっていることや，15年前の未解決殺人事件のコメント，Berlin にいるアメリカ人がポツダムでの広島の反核慰霊祭に反対しているなど，普通の日ならぬ印象のある記事をいくつも読んだ．

http://www.asahi.com/national/update/0726/TKY201007260231.html
http://www.asahi.com/international/update/0719/TKY201007180475.html
http://www.asahi.com/international/update/0725/TKY201007250377.html

Veach 論文に関する私的補足(11) p.67

2.7.2 Russian Roulette

ここでのロシアンルーレットとは，サンプリングのテクニックの一つで，サンプルを確率的に選択することである．これは方向の選択だけでなく，サンプリング を終了するかどうかも含む．光輸送方程式は積分式であり，それらは様々な項からできているが，それぞれの項の大きさは sample に依存するので全部をサンプルすることは現実的ではない．たとえば，いくつかの項がほどんど影響しない場合や，マテリアルがある方向には反射しにくいとか いうことがわかっているのにサンプルするのは効果が薄い．しかし，全くサンプルしないと解に bias がかかってしまう．なぜなら，光がそのような方向から来る可能性は低いと言ってもいつもあるからである．




Figure 1. Russian Roulette: (a) non-Russian roulette (splitting) ray tracing, sample many directions when sampling a glossy surface, (b1) Russian roulette sample, sampling only one direction depends on the probability, (b2) Russian roulette stochastic termination (c) a trace path is also chosen and terminated by specific probabilities.

図1 (a) は splitting というロシアンルーレット方式でないサンプリング方法である．Glossy 面は様々な方向からの光の影響を受けるので，多数のサンプリングを行う必要がある．しかし，(b1)ではある確率である方向のみをサンプルしている． (b1)の場合には，視点からの ray を多数投げ，毎回ある確率でサンプルを行うことで，まわりを見ることになる．(b2) は確率的にray が terminate したことを示している．(b1,b2)の方式では反射や屈折によるexponential な ray 数の増大がない．一方である場所付近では多数の sample が必要になる．この際，(c) のようにパスができる時，トレースがいつ停止するかも確率的に決定される．このように停止やあるいはサンプルの方向などを確率的に選択することをロシアン ルーレット方式と言う．この手法では，半透明な面にray が当たった場合，透過のパスを選択するか，あるいは反射のパスを選択するかも確率的に決まる(あるいはそこで trace が終了するかもしれない)．そのため，各ピクセルに対して多数の ray をキャストする必要はあるが，各 ray の計算時間がパスにはあまり依存しないという特性がある．これは unbias な手法で重要なテクニックである．

謝辞
Russian roulette 方式に関してコメントを下さった Leo に感謝します