ある行列の eigenvector が独立しているというのは嬉しい性質である．なぜなら，ある行列は eigenvector をカラムベクトルとする行列 S によって次のように対角化されるからである．

A = S λ S^{-1}

たとえば，

である．

これの何が嬉しいかというと， A をかけ算するのが簡単になる点である．

10回掛けてもあまりたいしたことではない．というのもλが対角行列なのでこの power は簡単だからだ．

A^{10} = S λ^{10} S^{-1}

かけ算が簡単になるとなぜ嬉しいかは， eigenvector を考えるのがなぜ嬉しいかと同じことである．eigenvectorはある行列の中の独立した basis であり，eigenvalue を使えば行列が一つのスカラ値で示されるというのが嬉しい．

しかし，ここでこの S 行列のカラムが独立していないとこのようにはいかない．それはS^{-1}が存在しないとこのこの式が成立しないからである．

ここで最初の私の疑問に戻る． eigenvalue λ が重解を持つ場合に，それは独立した eigenvector の数に関係しているかということである．これには実は名前がついている．

- Geometric multiplicity (GM): 独立した eigenvector の数
- Algebratic multiplicity (AM): eigenvalue の multiplicity

実はこれらには厳密な関係はない．(関係はある GM <=AM).

たとえば，4x4 の行列で AM が 3 の場合 (異なる λ の数は2)， GM は2 になるかというとそうとは限らない．その例を示しておこう．

ところで，この S はちょっと特殊で Hadamard 行列と言う．以前，私はこの行列を求める話を書いた．この行列は symmetric で orthogonal な上に 1 と -1しかでてこないというすごい特殊なやつである．

また，単位行列自身もこのような例である．4x4の単位行列の固有値は λ= 1,1,1,1 であり，固有ベクトルは

の4つである．私はこれに気がつくまで一日かかってしまったが，Marcと話をしていたら，彼は最初の私の質問で単位行列の例を挙げてきた．

ただ，一般の場合には一つの λ の値に対して一つの eigenvector が対応するというのが普通だと今でも思っている． AM と GM の厳密な関係というのはあるのだろうか．独立した eigenvector の数というのは A - λ I のnull space の次元であるが，これは AM とどうかかわってくるのか．もう少し勉強しないといけない．

参考文献:
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Ed.

Geometric Multiplicity: eignvectors (2)