今回も LU 分解の続きである．線形代数に興味のない方は残念ですが，飛ばすとよいでしょう．

前回は Elimination matrix のかけ算の結果 $L$ はもとの Elimination matrixの要素それぞれの符号反転であることを見た．それがどうした，というかもしれないが，行列の掛け算の答えが，掛け算せずにわかるというのは便利なものだ．

まずは一つ最初に注意しておこう．前回のL = (E_{32} E_{31} E_{21})^{-1}では，各要素の数が符号の反転だけで保存されていた．しかし，これは (E_{32}E_{31} E_{21}) では保存されない．Lという逆行列の時に保存されることに注意すること．実際に，

であって，E_{31}は保存されていない．(この例ではE_{31}だけ符号が反転しているだけに見えるが，Gilbert Srang の本の 103 の問題 8 を解けばそれだけではないことがわかる．)

これは直感的には左から作用する行列の row に関する性質による．2 x 2 の行列で説明してみよう．2 x 2 の Elimination 行列(E_{21})は下三角では式7のようになる．これは式8 に示すような列に対する操作として考えるとわかりやすい．連立一次方程式を解く時に第1行にl_{21}を掛けて第2 行に加えるということと同じである．この逆行列が式9となることは 2x2 の行列の逆行列の公式からもわかるが，考えてみれば，第1 行にl_{21}をかけたもの(l_{21}a_{r_1})を引けば，l_{21} a_{r_1} + a_{r_2} - l_{21} a_{r_1} = a_{r_2}のように元に戻ることはわかると思う．2 x 2 の場合には，逆行列の公式が使えるから，こんな他の解釈は別にいらないという考えもあるだろう．学校での試験では直接一般の2 x2 の逆行列が求まる公式は使えるが，このrow に関する操作という考えは，行列の大きさによらないところが優れている．つまり，この考えは Elimination 行列でしか使えないのではあるが，3 x 3, 4 x 4, そして n x n でも成立するところが優れている．そして一般の問題は n x n である．

L,U は Elimination の性質から，必ず 0 になる部分が以下のようになる．

L は下半分(Lower)に 0 でない要素が，U は上半分(Upper)に 0 でない要素が並ぶが，L の下半分にたまたま 0がある場合，U の上半分にたまたま 0がある場合には以下の性質がある．(Gilbert Strangの本のp. 96を参照)

1. 行列 A の行が 0 からはじまる場合，L も同様である
2. 行列 A の列が 0 からはじまる場合，U も同様である

まず 1. は既に Elimination が終わっているから0になる．なぜならElimination は 0 でない要素を消去する方法であったので，要素が 0 になっていたらもう Elimination をする必要がない．だからその要素は 0 になる．次に2. は，Elimination が行の上の方から作用することに関係している．たとえば，U の 3 行は A の 3 行から 1 行と2行の linear combination を引くことでelimination される．すると，行列の上の方に 0 があれば，その linearcombination も 0 であるから( l_{31} t0 + l_{32} 0 + 0 = 0)，2. が成立する．

さて，結局やっていることは Elimination である．なぜ Eliminationそのものを実行して終わりではなく，LU 分解という形に変形するのであろうか? 私が理解する限りでは，2つの理由がある．次の回ではようやくその理由，なぜ消去法で答えがわかるのにもっとややこしい LU 分解などというものをするのか，について話をしたいと思う．

2.5 LU decomposition (2) L と U の性質