Why is the normal transformation a inverse transpose?
Abstract
Physically Based Rendering[2] の p.87 (2.8.3) や Realtime rendering[6] の p.35 (3.1.7) には normal の transformationが $(M^{-1})^{T}$ であると記されている．これらの本には説明も詳しいのだが，私はいつも忘れてしまう．今回は normal の transformationがなぜこんな形をしているのか，私なりの理解を記そう．
Introduction
あるベクトルに M という matrix で表現された座標変換(transformation)が施されるとしよう．たとえば回転とか拡大縮小とか移動とかである．位置を示すベクトルに変換を施すにはこの matrix M を掛ければよい．しかし，normal の変換を同じようにすると上手くいかない時がある．本には normal の変換は$(M^{-1})^{T}$であると書かれている[2,6]．
この記事では次の3つについて述べよう．
- 問題は何か: normal の transformation とは何か
- なぜ通常の transformation が normal では上手くいかないのか．
- なぜ逆行列の転置なのか
である．