今日，A signal processing approach to fair surface design (G. Taubin) という論文を読んでいたが，わからないところがあった．式 1 のような Laplacian matrix の eigenvalue は式 2であ
る，というのである．
式 2
ところが，私の友人の CR とたまたま会話したところ，そんなに難しくないことがわかった．固有値は固有方程式をそのまま考えれば，
であり，Laplacian matrix は二階の差分と同等であることを考えると，
である．この解は exp であり (二階微分して定数項以外が元に戻るものなので exp(Cx) は解の一つである)，Euler の式から式2の形がでてくるというわけである．
補足しておけば，式 1 は Symmetric であり，固有値は real であり，固有ベクトルは orthogonal である．また，これは diffusion の式の形をしていて，Fourier basis との関係がみえる．
ここまで来ると論文のタイトルがなぜ signal processing approach かが見えてくるが，私のようにあまり数学に慣れていない者には，式 1の固有値が式 2であるから，これを基底にメッシュを分解する，と言われてもなかなか難しい．
もちろん専門家にはここまで説明する必要はないので，論文には書く必要はないのだろうが，素人にはなかなかわかりにくい部分ではないかと思う．CRに感謝!