「しつこい」には執拗の「執」をあてるのが一般的な語源だよ。「執」拗なんだ「コイ」ツっていうところかな。
これとは別に「躾(しつけ)が濃い」という説もあるみたい。ただ、濃い躾をされてもしつこくはならないような気もするね。