だんだん、本来のタクシー数からは離れて行くが、その4に引き続き、2次体の整数を用いてn乗数の和で2通りに表される例を考えてみる。
先ず、その4で対象とした
の形の数の計算を行ってみる。最初は簡単な
について、nの偶奇に応じて計算を行う。
次にについて、同じくnの偶奇に応じて計算を行う。
となる。
簡単とするため b＝1かつ奇数乗の場合を考えると
とおき、これをa,x,mの関数F(a,x,n)と考えると
今、
なる整数A,M,M’が存在すれば
となり、2通りに2次体の整数により(2n+1）乗数の和としてあらわされる。
小さなnについて
を求めると
である。簡単な計算で
したがって、
より
また、
したがって、
より
すべての奇数乗について、このような解があるのだろうか。