Lorentz代数の交換関係

Lorentz 群が4次元の回転群と見なせることから、Lorentz代数の交換関係を求める。

　
$\100dpi [J^{\mu%20\nu},J^{\rho%20\sigma}]=i(g^{\nu%20\rho}J^{\mu%20\sigma}-%20g^{\mu%20\rho}J^{\nu%20\sigma}%20-%20g^{\nu%20\sigma}J^{\mu%20\rho}+%20g^{\mu%20\sigma}J^{\nu%20\rho})$

↑これね。　　　　　　
ｇは計量テンソルでtimelikeです。

まず、角運動量演算子は

なので、

とおくと、　Lorentz代数は

と書ける。（あ、timelikeね）

この交換関係を求めると

$\100dpi [J^{\mu%20\nu},J^{\rho%20\sigma}]=i(g^{\nu%20\rho}J^{\mu%20\sigma}-%20g^{\mu%20\rho}J^{\nu%20\sigma}%20-%20g^{\nu%20\sigma}J^{\mu%20\rho}+%20g^{\mu%20\sigma}J^{\nu%20\rho})$

となる。

Peskinでは↑みたいな感じだった。

猪木・川合では、反交換関係

だけから求めていました！（実際にはJにはパウリ行列を使ってましたが）

んー。なんというか。
猪木川合は非常に厳密で、Peskinは実用的って感じですかね。

まあ、いずれにしても、Lorentz代数の行列表現はこの交換関係に従わなければならないので、逆にこれに従う行列を見つければそれがLorentz変換の行列表現になってるわけですね。