Happy New Year は、お正月以降に使う表現で、
A Happy New Year は、お正月より前に使う表現なのです。
つまり、年賀状を1月1日より前に出してはる方は、A Happy New Year
書いて出してる時点では「まだお正月じゃない」わけですから。
ですが、1月1日になってからノートカードなどを一斉に送られる方は注意してください。
年が明けてしもたら、Aをつけたらいけません。
不定冠詞 A（An） の用法の1つに「まだ実現していない事物を表す」というものがあるのですが、文法的なややこしいことは、置いといて・・・。