　日本数学オリンピック２０１５年予選の問題

今回は、日本数学オリンピック(JMO)２０１５年予選第４問を取り上げます。

算数オリンピックにチャレンジする子にぜひ解いてもらいたい問題です。

１１×１１のマス目に長方形（正方形も含みます）が何個ありますかと問われたら、それなりのレベルの中学校の受験生であれば普通に解けるでしょう。

その解法を応用するだけです。
まず、「中心」に長方形（黄緑色の長方形）を配置します。

　　
１２本の縦の線のうち両端を除く１０本の線を選び、次に、１２本の横の線のうち両端を除く１０本の線を選びます。
この４本の直線で囲まれた部分が黄緑色の長方形になりますね。
この選び方は、
　　（１０×９）/（２×１）×（１０×９）/（２×１）
　＝４５×４５（計算する必要はありませんが、２０２５となることは、２０２５年の受験生は覚えておくとよいでしょう。）
この黄緑色の長方形と辺を共有する水色の長方形４個がそれぞれ残りの長方形４個を構成することになりますが、４つの角にある黄色の長方形をこの水色の長方形と合体させる必要があります。
黄色の長方形それぞれについて辺を共有する水色の長方形のどちら側（縦か横）と合体させるかで２通りあるから、分割方法は全部で
　　４５×４５×２×２×２×２
　＝１８０×１８０（１８×１８＝３２４を覚えているので、このようにしましたが、覚えていなければ、９０×９０×４＝８１００×４とすればよいでしょう。）
　＝３２４００通り
あります。

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