無損失線路上における電圧・電流

無損失線路上の電圧
V=Vrcosβl+jZ0Irsinβl
(V,Vr,Irは複素数、Z0は抵抗分のみ)

無損失線路上の電流
I=Ircosβl+j(Vr/Z0)sinβl
(I,Ir,Vrは複素数、Z0は抵抗分のみ)
ここでβ=ω(LC)^0.5

※参考
分布定数回路(直列にRとL、並列にGとC)から
dV=dx・IZ
dI=dx・VY
xで微分し双方代入
d^2V/(dx^2)=VYZ
d^2I/(dx^2)=IYZ
微分方程式を解くと
V=Ae^(-γx)+Be^(γx)
I=(A/Z0)e^(-γx)-(B/Z0)e^(γx)
(Z0=(Z/Y)^0.5、
γ=(ZY)^0.5とする)
(参考※2へ)
初期条件は送端で
x=0でV=Vt,I=Itとすると
A=(Vt+Z0It)/2
B=(Vt-Z0It)/2
R<<ωL,G<<ωCであるので
Z0=(L/C)^0.5
γ=(R/2)(C/L)^0.5+(G/2)(L/C)^0.5+jω(LC)^0.5
さらに無損失線路では
R=0,G=0であるので
γ=jω(LC)^0.5

初期条件を受端とし
l=0でV=Vr,I=Irとすると
A=(Vr+Z0Ir)/2
B=(Vr-Z0Ir)/2
さらに無損失線路の条件(Z0=Z0(実数のみ),γ=jβ)を代入
V=(Vr+Z0Ir)/2・e^(-jβl)+(Vr-Z0Ir)/2・e^(jβl)
I=(Vr+Z0Ir)/(2・Z0)・e^(-jβl)-(Vr-Z0Ir)/(2・Z0)・e^(jβl)
オイラーの公式
(e^(jβl)=cos(βl)+jsin(βl)とe^(-jβl)=cos(βl)-jsin(βl))を変形して
cos(βl)=(e^(jβl)+e^(-jβl))/2
jsin(βl)=(e^(jβl)-e^(-jβl))/2
よって
V=Vrcosβl+jZ0Irsinβl
I=Ircosβl+j(Vr/Z0)sinβl

参考※2
Z0=(Z/Y)^0.5=((R+jωl)/(G+jωl))^0.5
このZ0を特性インピーダンスという
γ=(ZY)^0.5=((R+jωl)(G+jωl))^0.5=α+jβ
このγを伝搬定数という
またαを減衰定数、βを位相定数という
R<<ωl,G<<ωCの条件では
α=(R/2)(C/L)^0.5+(G/2)(L/C)^0.5
β=ω(LC)^0.5
さらにR<<ωL,G=0の条件で
α=R/(2Z0)
また伝搬速度vは位相定数を代入して
v=λf=(λ/(2π)・(2πf))=(1/β)・ω=1/((LC)^0.5)
無損失線路ではR=0,G=0より
α=0
γ=jβ=jω(LC)^0.5
Z0=(L/C)^0.5